Analyse stochastique

Un chemin du processus Wiener (bleu) et une intégrale stochastique calculée avec lui (vert)

L' analyse stochastique est une branche des mathématiques , plus précisément la théorie des probabilités . Il traite de la généralisation des concepts, énoncés et modèles d' analyse aux processus stochastiques , c'est-à-dire aux fonctions dont les valeurs sont aléatoires. L'analyse stochastique se concentre sur la formulation et l'étude des intégrales stochastiques et, sur leur base, des équations différentielles stochastiques .

Historiquement, le sujet remonte aux travaux du mathématicien japonais Kiyoshi Itō de 1944. L'impulsion principale pour cela était la description mathématique du phénomène physique du mouvement brownien par Albert Einstein et Norbert Wiener . Ce modèle, le processus de Wiener , avec ses nombreuses propriétés et généralisations remarquables, constitue un point de départ pour l'analyse stochastique. Les applications du sujet peuvent être trouvées en biologie , physique et ingénierie , mais surtout en mathématiques financières . Un premier point fort a été le modèle révolutionnaire de Black-Scholes publié en 1973 pour la valorisation des options sur une action , dont l'évolution du prix est décrite par une équation différentielle stochastique.

introduction

La terminologie de l'analyse stochastique est particulièrement élémentaire et claire dans son principal domaine d'application, les mathématiques financières. À cette fin, ce qui suit décrit les processus impliqués dans la négociation d'un instrument financier , qui par souci de simplicité est appelé une action et qui répond à certaines hypothèses idéalisées. En particulier, il devrait être possible d'acheter et de vendre l'instrument financier en n'importe quelle quantité à tout moment.

Du gain de prix en bourse à l'intégrale stochastique

Le gain (ou la perte) sur la possession d'actions au cours d'une période donnée dépend évidemment du nombre d'actions que vous possédez dans l'action et de la manière dont son prix, le prix du marché , évolue au cours de cette période. Par exemple, si vous possédez des actions dans une action avec un prix initial et que le prix augmente, par exemple dans la journée, le gain de prix est arrondi ${\ displaystyle H_ {1} = 4 {,} 27}$${\ displaystyle S_ {0} = 106 {,} 12 \, \ mathrm {\ euro}}$${\ displaystyle S_ {1} = 107 {,} 58 \, \ mathrm {\ euro}}$

${\ displaystyle H_ {1} \ cdot (S_ {1} -S_ {0}) = 4 {,} 27 \ cdot (107 {,} 58 \, \ mathrm {\ euro} -106 {,} 12 \, \ mathrm {\ euro}) = 6 {,} 23 \, \ mathrm {\ euro}}$.

Après cette journée, des actions supplémentaires de l'action pourraient être achetées ou vendues afin que vous soyez désormais propriétaire d'actions, par exemple si vous achetez une action entière. Si le cours de l'action est perceptible le jour suivant , le bénéfice total peut être vu dans les deux jours ${\ displaystyle H_ {2}}$${\ displaystyle H_ {2} = 5 {,} 27}$${\ displaystyle S_ {2} = 105 {,} 96 \, \ mathrm {\ euro}}$

${\ displaystyle H_ {1} \ cdot (S_ {1} -S_ {0}) + H_ {2} \ cdot (S_ {2} -S_ {1}) = - 2 {,} 30 \, \ mathrm { \Euro} }$

déterminer. Un bénéfice négatif, c'est-à-dire une perte, est survenu au cours de la période sous revue. En général, le profit total par segment de temps est la somme des bénéfices partiels de chaque segment individuel: ${\ displaystyle G_ {n}}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle G_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} H_ {k} \ cdot \ Delta S_ {k} = H_ {1} \ cdot (S_ {1} -S_ {0}) + H_ {2} \ cdot (S_ {2} -S_ {1}) + \ ldots + H_ {n} \ cdot (S_ {n} -S_ {n-1})}$.

Ici se réfère au changement de prix au cours de la période et indique le nombre d'actions de l'action, l'actionnaire a au cours de cette période.${\ displaystyle \ Delta S_ {k} = S_ {k} -S_ {k-1}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle H_ {k}}$

L'analyse entre en jeu avec ces considérations élémentaires lorsqu'il ne s'agit plus seulement d'une séquence de temps de négociation discrets mais de tous les temps d'un intervalle de temps qui sont considérés. À tout moment, une action a un prix qui est généralement «en constante évolution». Les actions détenues peuvent également être considérées de manière idéalisée comme un processus en constante évolution, appelé processus de portefeuille . Le profit total pendant l'intervalle de temps ne peut alors plus être déterminé par la simple addition d'un nombre fini de profits partiels indiqué ci-dessus. Au lieu de cela, il résulte de l'intégration du processus de portefeuille, pondéré avec les variations du cours de l'action, sous forme de formule ${\ displaystyle t}$ ${\ displaystyle [0, T]}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle S_ {t}}$${\ displaystyle H_ {t}}$${\ displaystyle G_ {T}}$${\ displaystyle [0, T]}$

${\ displaystyle G_ {T} = \ int _ {0} ^ {T} H_ {t} \, \ mathrm {d} S_ {t}}$

écrit. Une tâche fondamentale de l' analyse stochastique est de définir mathématiquement ces intégrales stochastiques pour intégrants et intégrateurs aussi générale que possible et d'étudier leurs propriétés. ${\ displaystyle H_ {t}}$ ${\ displaystyle S_ {t}}$

D'un modèle de cours boursier aux équations différentielles stochastiques

Les considérations qui conduisent à la représentation ci-dessus du profit comme intégrale stochastique sont si générales qu'elles peuvent être effectuées pour n'importe quelle variable avec le temps. Dans l'exemple spécifique de la négociation d'actions, la question se pose de savoir à quoi pourrait ressembler un modèle mathématique pour l'évolution des prix au fil du temps . Les évolutions des prix réels semblent se déplacer à la hausse et à la baisse «au hasard». Du point de vue des mathématiques, il est donc logique de modéliser chacun d' eux comme une variable aléatoire , c'est-à-dire comme une fonction qui attribue la valeur à chaque résultat d' une expérience aléatoire (abstraite) . Le cours de l'action dépend alors à la fois du moment et du résultat aléatoire : il s'agit d'un processus stochastique .${\ displaystyle S_ {t}}$${\ displaystyle S_ {t}}$ ${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle S_ {t} (\ omega)}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle \ omega}$

L'indice australien des actions All Ordinaries a affiché une croissance exponentielle prononcée sur la période de 1875 à 2013. Dans une représentation logarithmique, il suit à peu près une ligne droite.

En réalité, les cours des actions semblent aléatoires, mais ils ne sont pas complètement aléatoires. Sur des périodes plus longues, les mouvements de prix «non perturbés» ont souvent comme tendance de base une croissance exponentielle en augmentant, par exemple, d'année en année de quelques pour cent. Cela se voit généralement encore plus clairement dans le cas des indices boursiers où un certain nombre de prix individuels sont moyennés, comme - de manière particulièrement prononcée - dans le graphique ci-contre pour l'indice boursier australien All Ordinaries . Une croissance exponentielle complètement non perturbée de signifierait que le changement sur une courte période de temps est proportionnel à et à : ${\ displaystyle S_ {t}}$${\ displaystyle \ Delta S_ {t} = S_ {t + \ Delta t} -S_ {t}}$${\ displaystyle \ Delta t}$ ${\ displaystyle S_ {t}}$${\ displaystyle \ Delta t}$

${\ displaystyle \ Delta S_ {t} = \ mu \ cdot S_ {t} \ cdot \ Delta t}$

à un taux de croissance . Avec un solde d'épargne, cela correspondrait à une croissance exponentielle des intérêts composés . Dans le cas des actions, cependant, cette loi de croissance est apparemment superposée par un mouvement aléatoire compliqué dans la réalité. Les statistiques et la théorie des probabilités suggèrent que dans le cas de perturbations aléatoires composées de nombreux petits changements individuels, une distribution normale est le modèle le plus simple. Il montre également que la variance des perturbations est proportionnelle à la période observée . Le procédé Wiener possède toutes ces propriétés souhaitées et convient donc comme modèle pour le développement temporel de la composante aléatoire du cours de l'action. Dans l'ensemble, ces considérations conduisent à l'équation modèle suivante pour le changement d'un intervalle de temps : ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ Delta t}$ ${\ displaystyle W_ {t}}$${\ displaystyle \ Delta S_ {t}}$${\ displaystyle \ Delta t}$

${\ displaystyle \ Delta S_ {t} = \ mu \ cdot S_ {t} \ cdot \ Delta t + \ sigma \ cdot S_ {t} \ cdot \ Delta W_ {t}}$.

Décrivez ici le changement du processus de Wiener dans la période et une constante de proportionnalité qui modélise dans quelle mesure la composante aléatoire affecte le changement de cap, la soi-disant volatilité .${\ displaystyle \ Delta W_ {t} = W_ {t + \ Delta t} -W_ {t}}$${\ displaystyle \ sigma}$

Une voie possible pour résoudre l'équation différentielle stochastique pour la modélisation du prix des actions

La procédure supplémentaire de l'analyse classique consisterait maintenant à faire converger l' intervalle de temps vers zéro et ainsi obtenir une équation différentielle ordinaire pour la fonction recherchée. Ceci n'est pas possible ici de cette manière, car il s'avère que ni les chemins du processus de Wiener ni ceux du processus de cours de bourse recherché ne peuvent être différenciés , ils ne peuvent donc pas être étudiés par le calcul différentiel classique. Au lieu de cela, vous obtenez une équation différentielle stochastique , principalement sous la forme ${\ displaystyle \ Delta t}$

${\ displaystyle \ mathrm {d} S_ {t} = \ mu \ cdot S_ {t} \ cdot \ mathrm {d} t + \ sigma \ cdot S_ {t} \ cdot \ mathrm {d} W_ {t}}$

est écrit. Les différentiels utilisés sont une pure partie de la notation et c'est la tâche de l'analyse stochastique de donner d'abord à ces équations une signification mathématique. Ceci est réalisé par l'observation que, en raison du théorème fondamental de l'analyse, les relations entre une fonction différentiable et sa dérivée peuvent également être écrites à l'aide de son intégrale. En conséquence, une équation différentielle stochastique n'est qu'une notation intuitive d'une équation intégrale avec une intégrale stochastique. L'analyse stochastique traite, entre autres, des questions dans lesquelles les conditions des équations différentielles stochastiques peuvent être résolues de manière unique et des propriétés analytiques et probabilistes des solutions. Pour certains types simples d'équations différentielles stochastiques, il existe des méthodes pour calculer les solutions explicitement. Par exemple, l'équation pour le prix de l'action dérivée ci-dessus a le soi-disant mouvement brownien géométrique comme solution . Comme c'est déjà le cas avec les équations différentielles ordinaires, les solutions de nombreuses équations différentielles stochastiques ne peuvent être calculées que numériquement .

récit

Les débuts: modèles mathématiques pour le mouvement brownien

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Mouvement brownien des gouttelettes de graisse dans le lait

En tant que mouvement brownien , le phénomène physique est connu que de petites particules en suspension dans un liquide ou dans un gaz se déplacent en «tremblant» dans un Art apparaissant de manière irrégulière et aléatoire. Il porte le nom du botaniste Robert Brown , qui l'a observé et décrit pour la première fois en 1827 lors de l'examen microscopique des grains de pollen dans une goutte d'eau. Dans la période qui a suivi, des expériences ont montré que la cause physique du mouvement brownien réside dans le mouvement thermique des molécules liquides . Ceux-ci frappent constamment les particules beaucoup plus grosses, ce qui les fait bouger irrégulièrement.

Un peu d'attention scientifiquement à leur début de l'application du mouvement brownien en mathématiques financières a étudié le mathématicien français Louis Bachelier , qui a tenté en 1900 à l'aide de mouvements aléatoires que les cours des actions sur Euronext Paris dérivent de modéliser et de prix des formules de Warrants . Il a anticipé de nombreuses idées du célèbre modèle Black-Scholes qui n'a été introduit que 73 ans plus tard.

Albert Einstein , 1905

Le mouvement brownien est revenu à la lumière de la communauté scientifique, comme Albert Einstein en 1905, donc dans son annus mirabilis , a présenté un modèle mathématique du phénomène physique. Il a supposé que le mouvement brownien, en langage moderne, est un processus stochastique avec des chemins continus et des augmentations indépendantes et normalement distribuées, c'est-à-dire qu'il remplit des conditions fondamentales et d'un point de vue physique significatives. Cependant, il n'a pas présupposé d'autres conditions, physiquement tout aussi nécessaires, surtout pas qu'une particule ne puisse parcourir qu'une distance finie dans un laps de temps fixe, la soi-disant rectifiabilité des trajectoires. Puisqu'en 1905 le fondement théorique de la théorie des probabilités par Émile Borel et Henri Lebesgue ne faisait que commencer, Einstein ne pouvait pas prouver que son modèle existait réellement en tant qu'objet mathématique .

Une construction mathématique du modèle d'Einstein n'a été possible qu'en 1923 par le mathématicien américain Norbert Wiener . Il a utilisé une approche pour mesurer la théorie développée par Percy John Daniell en 1913 et la théorie des séries de Fourier . En examinant les propriétés de ce modèle, également appelé processus Wiener en son honneur , il a été constaté que ses chemins ne sont pas rectifiables. Rétrospectivement, il s'est avéré qu'Einstein avait sélectionné exactement les «bonnes» propriétés dans son modèle; avec l'hypothèse supplémentaire de rectifiabilité, elle n'aurait pas du tout existé mathématiquement.

En 1931, le mathématicien soviétique Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow a trouvé un moyen d'étudier les processus stochastiques en utilisant l'analyse. Il a examiné les généralisations du processus de Wiener, les processus dits de Markov , et a développé une théorie pour les décrire. Il a montré que ces processus peuvent être décomposés en un terme de dérive non aléatoire et une partie purement stochastique. Kolmogorow établit ainsi un lien entre leurs distributions de probabilités et certaines équations aux dérivées partielles , les équations de Kolmogorow: il utilise des méthodes d'analyse classique; une généralisation du calcul intégral et différentiel à une «analyse stochastique» n'a pas encore été trouvée chez lui.

Approche d'Itō et développement ultérieur

Kiyoshi Itō , 1970

Au début de l'analyse stochastique se trouve un travail du mathématicien japonais Kiyoshi Itō (1915–2008) de 1944 avec le titre simple Stochastic Integral. Itō, qui est considéré comme le fondateur du domaine, a construit une équation différentielle stochastique générale pour l'étude des processus de Markov. Il a donné un sens aux différentiels stochastiques qui se produisent en construisant un nouveau terme intégral pour les processus stochastiques, l' intégrale Itō . Dans ses travaux ultérieurs, il a également établi un lien avec les résultats de Kolmogorov en prouvant que les solutions de son équation différentielle stochastique satisfont les équations de Kolmogorov. En 1951, il publia l'un des résultats les plus fondamentaux de l'analyse stochastique, la formule Itō . Cela généralise la règle de la chaîne , la règle du produit , la règle de substitution et l' intégration partielle de l'analyse classique aux différentiels stochastiques ou intégrales des processus dits Itō .

Le travail d'Itō a ainsi représenté le point de départ d'un développement rapide dans le domaine, qui se poursuit aujourd'hui. Il s'est avéré cependant qu'en 2000, le mathématicien franco-allemand Wolfgang Döblin avait anticipé de nombreuses idées d'Ito dès 1940. Parce que Döblin, qui a combattu pour la France pendant la Seconde Guerre mondiale, a envoyé son travail dans une enveloppe scellée à l' Académie des sciences de Paris , brûlé ses notes puis s'est suicidé pour éviter d'être capturé par la Wehrmacht allemande, personne ne le savait depuis 60 ans. Résultats de Döblin.

Paul-André Meyer , 1969

Dans la période qui a suivi les travaux d'Itō, la recherche mathématique s'est concentrée sur les généralisations de ses résultats. En 1953, Joseph L. Doob élargit son ouvrage dans son livre influent sur les processus stochastiques L'intégrale d'Itō du processus de Wiener aux processus avec des augmentations non corrélées . Doob a également abordé la question de savoir comment son théorème de décomposition pour les processus discrets peut être généralisé au cas continu dans le temps. Ce problème a été résolu par Paul-André Meyer en 1962 . Meyer a montré qu'une telle décomposition, la décomposition Doob-Meyer , n'est possible que sous une condition supplémentaire, qu'il a appelée "classe (D)". En 1970, Catherine Doléans-Dade et Meyer ont généralisé l'intégrale Itō aux soi-disant semi - martingaux comme intégrateurs, c'est-à-dire à des processus stochastiques composés d'une martingale locale et d'un processus à variation localement finie . D'une certaine manière, les semi-parties sont la classe la plus générale de processus stochastiques pour lesquels un terme intégral significatif peut être défini.

Du point de vue des applications de l'analyse stochastique, le résultat historiquement le plus significatif est le modèle de Black-Scholes pour la valorisation des options financières publié par Fischer Black , Myron S.Scholes et Robert C.Merton en 1973 après les travaux préparatoires de l'économiste Paul A. Samuelson et du mathématicien Henry McKean . Là, le prix de l'action sous-jacente est donné par l'équation différentielle stochastique dérivée dans la section d'introduction de cet article. La formule Itō, appliquée au prix d'une option en fonction du temps et du cours de l'action, conduit alors à une certaine équation différentielle partielle, l'équation de Black-Scholes , associée à un argument économique au moyen d'une couverture . Ceci peut être résolu de façon explicite et résulte donc dans les formules pour la valeur d' appel et de mettre des options sur l'action. Scholes et Merton ont reçu le Prix ​​Alfred Nobel d’économie (« Prix ​​Nobel d’ économie») en 1997 pour leurs réalisations ; Black était mort deux ans plus tôt.

D'autres développements dans l'analyse stochastique sont, par exemple, la géométrie différentielle stochastique , qui traite des processus stochastiques sur des variétés , et le calcul de Malliavin (d'après Paul Malliavin ), une généralisation du calcul des variations sur les processus stochastiques fonctionnels . Un autre sujet de recherche actuel est la théorie et les applications des équations aux dérivées partielles stochastiques .

Termes, déclarations et méthodes de base

Le procédé Wiener et ses propriétés analytiques

Un exemple de chemin du processus Wiener avec une section agrandie; il est tellement «dentelé» à toutes les échelles de temps qu'il ne peut être différencié à aucun moment.

Le processus de Wiener n'est pas seulement historiquement un modèle du mouvement brownien au début de l'analyse stochastique; En raison de ses nombreuses propriétés mathématiquement intéressantes, en tant que "type de base" d'un processus aléatoire, il est un objet central d'investigation dans le domaine. Le processus de Wiener peut être défini comme un processus stochastique avec des augmentations indépendantes , stationnaires et normalement distribuées , qui a presque certainement des chemins continus et est normalisé. La définition donne lieu à de nombreuses propriétés importantes qui peuvent naturellement être généralisées à des classes plus générales de processus stochastiques. Le processus de Wiener est un représentant typique des processus de Gauss , des processus de Markov et des processus de Lévy . ${\ displaystyle (W_ {t}) _ {t \ geq 0}}$ ${\ displaystyle W_ {0} = 0}$

Le procès Wiener est également une soi-disant martingale . Ainsi, étant donné la valeur actuelle , l' augmentation a la valeur attendue conditionnelle zéro. Pour le dire simplement et clairement: il se comporte comme le profit d'un joueur qui participe à un jeu de hasard équitable, c'est-à-dire un jeu dans lequel les profits et les pertes s'équilibrent en moyenne. Le terme martingale est un concept central de la théorie des probabilités moderne, car d'une part les modèles stochastiques conduisent souvent à une martingale ou peuvent être transformés en une martingale, d'autre part de nombreux théorèmes peuvent être prouvés pour cette classe de processus, tels que l'inégalité maximale de Doob , le théorème d'échantillonnage optionnel ou les théorèmes de convergence de la martingale .${\ displaystyle W_ {t + \ Delta t} -W_ {t}}$${\ displaystyle W_ {t}}$

Les chemins du processus de Wiener ne sont presque certainement pas différentiables à aucun moment , ils sont donc clairement «déchiquetés» à toutes les échelles de temps, de sorte qu'une tangente ne peut être créée nulle part . Cela signifie qu'ils échappent au calcul différentiel au sens classique du terme. Cependant, par définition, ils sont continus, de sorte qu'ils peuvent apparaître comme l'intégrale d'une intégrale classique sans aucun problème. Les chemins du processus de Wiener sont également de variation infinie , de sorte que les sommes totales de leurs changements sur un intervalle de temps fini sont illimitées. La conséquence de ceci est qu'une intégrale avec le processus de Wiener en tant qu'intégrateur ne peut pas être interprétée cheminement comme une intégrale de Stieltjes classique ; un nouveau terme intégral «stochastique» est donc nécessaire pour cela.${\ displaystyle t}$

Intégrales stochastiques

Dans la section d'introduction de cet article, il a été montré comment une intégrale stochastique peut être comprise comme une valeur limite des sommes à laquelle une taille de pas de temps converge vers zéro. Cette considération peut être rendue plus précise mathématiquement et de cette manière conduit à une possible définition d'une intégrale avec le processus de Wiener comme intégrateur, l' intégrale Itō . Dans les manuels modernes, cependant, une construction un peu plus abstraite est généralement utilisée, qui est plus similaire à la procédure habituelle pour définir l' intégrale de Lebesgue : Premièrement, une intégrale pour les processus élémentaires , c'est-à-dire pour les processus constants par morceaux, est définie comme un intégrant. Ce concept d'intégrale est ensuite poursuivi étape par étape vers des intégrandes plus générales à l'aide d' arguments de rigidité . Dans cette forme générale, il existe des intégrales stochastiques

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {T} H_ {t} \, \ mathrm {d} X_ {t}}$

pour des semi-débutants comme intégrateurs et des processus stochastiques adaptés avec des chemins càglàd possibles. Les deux processus peuvent donc également avoir des points de saut .${\ displaystyle (X_ {t})}$${\ displaystyle (H_ {t})}$

Analogue au concept de fonction intégrale en analyse classique, on considère également l'intégrale en fonction de la limite supérieure d'intégration en analyse stochastique et reçoit ainsi à nouveau un processus stochastique

${\ displaystyle G_ {t} = \ int _ {0} ^ {t} H_ {s} \, \ mathrm {d} X_ {s}}$

ou en notation différentielle

${\ displaystyle \ mathrm {d} G_ {t} = H_ {t} \, \ mathrm {d} X_ {t}}$.

On peut montrer que c'est aussi une semi-martingale. Si l'intégrateur est même une martingale, par exemple le processus de Wiener, et que l'intégrande satisfait à certaines restrictions, alors c'est aussi une martingale. Dans ce cas, l'intégrale stochastique peut être comprise comme une transformation martingale continue dans le temps .${\ displaystyle (G_ {t})}$${\ displaystyle (X_ {t})}$${\ displaystyle (G_ {t})}$

La formule Itō

Pour l'intégrale Itō et ses généralisations, certaines des règles habituelles de calcul de l'analyse ne s'appliquent que sous une forme modifiée. Cela est clairement dû au fait que, en raison de la variation infinie du processus de Wiener, non seulement les changements associés doivent être pris en compte pour les petits changements dans le temps, mais aussi leurs carrés , eux-mêmes de l'ordre de grandeur . Les «nouvelles» règles de calcul qui en résultent sont résumées dans la formule Itō. Même dans sa forme la plus simple, il est clair comment la règle de chaîne pour le processus de Wiener doit être modifiée: si une fonction deux fois continuellement différentiable , alors pour le processus en notation différentielle ${\ displaystyle (W_ {t})}$${\ displaystyle \ Delta t}$${\ displaystyle \ Delta W_ {t}}$${\ displaystyle (\ Delta W_ {t}) ^ {2}}$${\ displaystyle \ Delta t}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle X_ {t} = h (W_ {t})}$

${\ displaystyle \ mathrm {d} X_ {t} = h '(W_ {t}) \, \ mathrm {d} W_ {t} + {\ frac {1} {2}} h' '(W_ {t }) \, \ mathrm {d} t}$.

Par rapport à la règle de chaîne classique, vous obtenez un terme supplémentaire contenant la deuxième dérivée de . La formule Itō peut être généralisée aux semi-martingales à valeurs vectorielles.${\ displaystyle h}$

Les termes supplémentaires de ce calcul Itō rendent parfois les calculs concrets longs et déroutants. Par conséquent, pour certaines tâches d' application , un autre terme d'intégrale stochastique est disponible, l' intégrale de Stratonowitsch (après Ruslan Stratonowitsch ). Son principal avantage par rapport à l'intégrale Itō est que les règles de calcul correspondent essentiellement à celles de l'analyse classique. En particulier, dans les problèmes physiques, une formulation avec l'intégrale de Stratonowitsch est donc souvent plus naturelle. Cependant, il n'a pas certaines propriétés mathématiques importantes de l'intégrale Itō; en particulier, le processus intégral n'est pas une martingale. Cependant, chaque déclaration pour les intégrales Stratonowitsch peut être formulée avec des intégrales Itō et vice versa. Les deux termes ne sont que deux représentations du même état de choses.

Equations différentielles stochastiques

Une forme générale d'équation différentielle stochastique est

${\ displaystyle \ mathrm {d} X_ {t} = a (t, X_ {t}) \, \ mathrm {d} t + b (t, X_ {t}) \, \ mathrm {d} W_ {t }}$

avec le processus Wiener et les fonctions données et ; le processus stochastique est souhaité. Comme toujours, cette notation différentielle n'est qu'une abréviation d'intégrales stochastiques: un processus est une solution s'il a l'équation intégrale ${\ displaystyle (W_ {t})}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle (X_ {t})}$${\ displaystyle (X_ {t})}$

${\ displaystyle X_ {t} = X_ {0} + \ int _ {0} ^ {t} a (s, X_ {s}) \, \ mathrm {d} s + \ int _ {0} ^ {t} b (s, X_ {s}) \, \ mathrm {d} W_ {s}}$

Remplit. Au début de l'investigation théorique de ces équations se pose la question de l'existence et du caractère unique des solutions. Les conditions pour ce résultat sont similaires à celles de l'analyse classique des équations différentielles ordinaires. Analogue au théorème de Picard-Lindelöf , une équation différentielle stochastique a une solution uniquement déterminée qui existe pour tous si les fonctions de coefficients et Lipschitz sont continues et linéairement bornées .${\ displaystyle (X_ {t})}$${\ displaystyle t \ geq 0}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

Pour certains types simples d'équations différentielles stochastiques, la solution peut être donnée explicitement. En particulier, les équations linéaires peuvent être résolues de manière analogue aux méthodes classiques - modifiées par rapport à la formule Itō - par une approche exponentielle (avec une exponentielle stochastique ) et une variation des constantes . Cependant, les propriétés analytiques et stochastiques de la solution peuvent souvent déjà être dérivées de l'équation différentielle elle-même. Un résultat général théoriquement important est que les solutions d'équations différentielles stochastiques sont toujours des processus de Markov .

Solution exacte (noir) d'une équation différentielle stochastique et approximation d'Euler-Maruyama (rouge)

De plus, il est possible de résoudre des équations numériquement et ainsi de déterminer les quantités que vous recherchez à l'aide d'une simulation de Monte Carlo . La méthode numérique la plus simple et pratiquement la plus importante pour résoudre les équations différentielles stochastiques, la méthode d'Euler-Maruyama , est une généralisation directe de la méthode explicite d'Euler . Comme dans la dérivation de l'équation, des pas de temps courts sont considérés et le différentiel du processus de Wiener est remplacé par l'augmentation , c'est-à-dire par une variable aléatoire normalement distribuée avec une valeur attendue de zéro et de la variance . Comme pour les nombres d'équations différentielles ordinaires, il existe de nombreux développements supplémentaires de la méthode d'Euler-Maruyama qui ont un ordre de convergence plus élevé , c'est-à-dire qui fournissent des approximations plus précises de la solution pour une taille de pas donnée. Un exemple simple est la méthode Milstein . Contrairement au cas des équations différentielles ordinaires, l'importance des méthodes avec un ordre de convergence élevé est plutôt faible pour la plupart des applications pratiques. D'une part, cela est dû au fait que ces méthodes sont numériquement très complexes et donc gourmandes en calculs. D'autre part, la plupart des applications nécessitent le calcul rapide d'un grand nombre de chemins individuels dans une simulation; la précision avec laquelle un seul trajet est calculé ne joue alors pas un rôle essentiel, car le résultat final est dominé par l'erreur de la simulation de Monte Carlo.${\ displaystyle \ Delta t}$${\ displaystyle \ Delta W_ {t}}$${\ displaystyle \ Delta t}$

Applications

Mathématiques financières

L'application de méthodes probabilistes à des problèmes de mathématiques financières a conduit à une interaction fructueuse entre les mathématiques et l'économie au cours des dernières décennies. Les modèles qui décrivent l'évolution des variables économiques au fil du temps à des moments distincts dans le temps, comme le modèle binomial bien connu de Cox, Ross et Rubinstein , peuvent être établis et examinés à l'aide de calculs de probabilité élémentaires. Pour les questions avec un paramètre de temps continuellement variable, cependant, des termes et des phrases issus de l'analyse stochastique sont nécessaires. Le développement de variables financières et mathématiques telles que les prix des actions, les prix des produits dérivés , les taux de change ou les taux d'intérêt est modélisé par des processus stochastiques continus dans le temps , dont les changements sont donnés par des équations différentielles stochastiques appropriées.

Évaluation des dérivés

À partir d'une description mathématique du cours d'une action, on pourrait au départ s'attendre «naïvement» à ce que sa tâche principale soit de prévoir l'évolution future des prix. Cependant, ce n'est pas le cas lors de la modélisation utilisant une équation différentielle stochastique , car, comme nous l'avons vu, on suppose que les changements de cap sont aléatoires et ne décrit «que» ce caractère aléatoire de tous les développements possibles en termes de théorie des probabilités. Cependant, une question centrale correctement posée est de savoir comment le prix d'un dérivé, par exemple une option d'achat sur une action, peut être calculé dans un tel modèle aléatoire .

Prix V d' une option d'achat européenne basée sur le modèle Black-Scholes en fonction du cours de l'action S et du terme restant T

Un dérivé est généralement un instrument financier qui entraîne un paiement futur. Le montant de ce versement dépend d'une autre variable économique, comme le cours d'une action. Étant donné que cela change de manière aléatoire jusqu'au moment du paiement, le paiement du dérivé est également aléatoire. La question clé est de savoir comment le prix d'un tel dérivé peut être déterminé. Une idée évidente mais fausse est de faire la moyenne de tous les paiements possibles avec leurs probabilités respectives, c'est- à- dire pour former la valeur attendue du paiement. Des considérations économiques montrent, par exemple, le fait apparemment paradoxal que le prix d'une option d'achat sur une action ne dépend pas de la probabilité de hausse ou de baisse de l'action (pour un exemple élémentaire, voir aussi évaluation neutre au risque # exemple ).

Les approches appropriées pour évaluer les dérivés, en revanche, sont la couverture et l'évaluation neutre au risque . L'idée de base de la couverture est la suivante: s'il existe une stratégie de trading autofinancée qui n'utilise pas le dérivé, mais qui offre dans tous les cas le même paiement que le dérivé, alors le prix du dérivé doit être le même que le prix de la stratégie de trading. L'évaluation neutre au risque, en revanche, est basée sur le principe de la soi-disant liberté d' arbitrage , pour le dire simplement: le dérivé a le bon prix si vous ne pouvez pas faire de profit sans risque lors de la négociation du dérivé et des autres instruments financiers . Par exemple, s'il était possible de toujours réaliser un profit positif en achetant le dérivé, alors son prix serait trop bas. En réalité, le prix du dérivé augmenterait jusqu'à ce qu'un équilibre du marché se produise.

Un changement de la mesure de probabilité, représenté ici par différentes intensités de couleur, peut, par exemple, transformer un processus de Wiener avec dérive (à gauche) en une martingale (à droite).

Ces considérations économiques peuvent toutes être formalisées mathématiquement, à cette fin les méthodes d'analyse stochastique sont nécessaires dans le cas du temps continu. Sous certaines conditions techniques préalables au modèle de marché, il peut être prouvé que l'approche de couverture et la détermination du prix sans arbitrage sont clairement réalisables et donnent les mêmes résultats. Une approche mathématique assez générale représente le prix sans arbitrage d'un dérivé à un moment donné au moyen d'une valeur attendue conditionnelle . Comme indiqué ci-dessus, cependant, la mesure de probabilité réelle , qui détermine l'évolution du cours de l'action, ne peut pas être utilisée pour cela. Au lieu de cela, une modification de la mesure de probabilité neutre au risque est envisagée. En vertu de cette mesure, également connu sous le nom martingale équivalent mesure, le tarif réduit le prix de l' action est une martingale , qui, en termes simples, se comporte comme les gains d'un joueur qui participe à une foire jeu de hasard. Les formules de conversion pour les solutions des équations différentielles stochastiques sont fournies par le théorème de Girsanow . Le problème de la détermination du prix sans arbitrage comme valeur attendue conditionnelle en fonction du temps et de la valeur initiale peut également être réduit à la résolution d'une équation différentielle partielle (non stochastique) en utilisant le théorème de Feynman-Kac .

Modèles de taux d'intérêt

Dans toutes les considérations économiques qui incluent les prix à différents moments dans le temps, la valeur temps de l'argent doit être prise en compte, dont les principales causes sont les taux d'intérêt et l' inflation . Dans le cas le plus simple, également dans le modèle Black-Scholes, un titre à revenu fixe avec un taux d'intérêt constant sans risque est considéré. Tous les paiements futurs, comme avec un dérivé sur une action, ne doivent alors être divisés que par un facteur exponentiel en fonction du taux d'intérêt constant afin d'obtenir leur valeur actuelle.

En réalité, cependant, les taux d'intérêt fluctuent de la même manière que les cours des actions, ce qui suggère qu'ils devraient également être modélisés comme des processus stochastiques au sens de l'analyse stochastique. Avec les modèles de taux dits courts, il existe de nombreuses approches pour décrire l'évolution d'un taux d'intérêt instantané dans le temps («taux court») à l' aide d'équations différentielles stochastiques. Le taux d'intérêt actuel ainsi modélisé peut ensuite être utilisé pour afficher les prix des titres portant intérêt tels que les obligations à coupon zéro ou les flottants . Comme dans le cas des actions, les formules de prix des dérivés de taux d'intérêt tels que les caps , les swaps et les swaptions sont obtenues par une évaluation neutre au risque .${\ displaystyle r_ {t}}$

Les taux d'intérêt comme l' Euribor montrent souvent ici des mouvements aléatoires autour d'une valeur moyenne, à laquelle ils reviennent sans cesse.

Des exemples de modèles simples sont le modèle Ho Lee , qui suppose un processus de Wiener mis à l'échelle, et le modèle Dothan , qui utilise pour cela un mouvement brownien géométrique. De telles approches conduisent à des dérivations mathématiques simples, mais pour diverses raisons ne décrivent que mal la réalité. Pour le modèle Dothan, par exemple, on peut montrer mathématiquement qu'il serait possible de gagner une somme d'argent infinie dans une période de temps finie. Les taux d'intérêt réels montrent majoritairement un comportement correspondant à l' effet dit de réversion moyenne , c'est -à- dire qu'en dépit de leurs fluctuations apparemment aléatoires, ils reviennent toujours à une valeur moyenne. Deux types de base importants de modèles d'équations différentielles qui simulent cet effet sont le modèle de Vasicek et le modèle populaire de Cox-Ingersoll-Ross . Une autre approche de modélisation des taux d'intérêt est utilisée par le groupe de modèles HJM , qui décrivent non pas le taux d' intérêt actuel mais le taux à terme («forward rate»).${\ displaystyle r_ {t}}$

Physique, chimie et ingénierie

Le mouvement des corps physiques est décrit par les lois de Newton : une force qui agit sur un corps fait changer sa vitesse à masse constante . Si la force dépend d'une manière donnée de l'emplacement et de la vitesse du corps, il en résulte une équation qui relie l' accélération , la vitesse et l'emplacement du corps entre eux. Puisque l'accélération est la dérivée de la vitesse et que la vitesse est la dérivée de l'emplacement, il s'agit d'une équation différentielle ordinaire. Si la force a également une composante aléatoire, elle devient une équation différentielle stochastique.

La description physique des particules soumises au mouvement brownien peut être grandement affinée et généralisée. Par exemple, pour les particules sur lesquelles agissent également une force de frottement proportionnelle à la vitesse ( loi de Stokes ) et éventuellement une force constante, le résultat est que la vitesse est une solution de l' équation d'Ornstein-Uhlenbeck , une équation différentielle stochastique qui peut être résolue explicitement . La physique utilise généralement une représentation différente pour ce type d'équation, qui remonte à Paul Langevin et est connue sous le nom d' équation de Langevin . L'équation différentielle est notée avec un soi-disant bruit blanc , qui peut être interprété comme une dérivation formelle du processus de Wiener non différentiable. De telles équations de mouvement peuvent être encore généralisées, par exemple aux oscillations avec des perturbations aléatoires. Ici, l'accélération dépend de la déviation, de la vitesse et en plus d'une force aléatoire normalement distribuée, dont l' écart type peut également dépendre de l'emplacement et de la vitesse. Avec le fait que la vitesse est la dérivée de l'emplacement, il en résulte un système de deux équations différentielles stochastiques.

En général, quand il s'agit de problèmes physiques, on ne s'intéresse pas tant aux trajectoires de mouvement des particules individuelles qu'au comportement moyen de très nombreuses particules, ce qui est perceptible comme la diffusion . Le développement temporel de la fonction de densité associée remplit une équation différentielle partielle (non stochastique), l'équation de Fokker-Planck du nom d' Adriaan Daniël Fokker et Max Planck . D'autres généralisations de diffusion aboutissent à des applications en chimie théorique : si, en plus des mouvements physiques aléatoires des particules, on prend également en compte la possibilité de réactions chimiques entre elles, des équations de diffusion de réaction non linéaires résultent au lieu des équations linéaires de Fokker-Planck . Avec leur aide, de nombreux phénomènes intéressants de formation de motifs , tels que les réactions oscillantes , les ondes chimiques ou la morphogenèse , peuvent être étudiés.

De nombreuses applications en ingénierie et en technologie remontent au problème du filtrage stochastique . On observe un système dynamique , dont l'évolution dans le temps est décrite par une équation différentielle. En général, il n'est pas possible d'observer directement toutes les variables du système; De plus, l'équation du système et l'équation d'observation sont sujettes à des perturbations aléatoires: un système d'équations différentielles stochastiques en résulte et la tâche consiste à déduire le développement du système à partir des observations. Dans le cas discret dans le temps, c'est-à-dire lorsqu'il n'y a qu'un nombre fini d'observations à certains moments dans le temps, il existe une méthode d'estimation importante pour cela , le filtre de Kalman . Dans le cas du temps continu, cela peut être généralisé au filtre dit de Kalman-Bucy . La théorie du contrôle stochastique va encore plus loin : ici, l'équation différentielle qui décrit le système dépend également d'une fonction de contrôle librement sélectionnable, éventuellement à l'exception des conditions secondaires. Ce qu'il faut, c'est un contrôle optimal du système. Au centre de la théorie de ces tâches se trouve l' équation de Hamilton-Jacobi-Bellman , une équation aux dérivées partielles qui résulte du principe d'optimalité de Bellman par le passage au temps continu. Avec la formule Itō, l'équation de Hamilton-Jacobi-Bellman peut être transférée en équations différentielles stochastiques.

la biologie

Simulation d'un processus de Galton-Watson : après 50 unités de temps, 26 des 50 populations ont disparu.

De nombreux modèles en biologie utilisent les termes et méthodes d'analyse stochastique. Les processus dits de ramification tels que le processus de Galton-Watson sont de simples modèles stochastiques discrets pour la croissance d'une population : chaque individu obtient un nombre aléatoire de descendants dans une génération, indépendamment des autres, puis meurt. En 1951, William Feller a présenté le modèle de branchement-diffusion , une version continue dans le temps d'un processus de branchement dans lequel la taille de la population est donnée par une équation différentielle stochastique. Les méthodes probabilistes standard peuvent être utilisées pour dériver des formules pour la croissance exponentielle de la valeur attendue de la population et pour la probabilité d' extinction.

Un autre type de modèles stochastiques pour le développement des populations sont les processus de naissance et de mort , dans lesquels la taille de la population augmente ou diminue d'un individu après des intervalles de temps aléatoires. Dans le cas le plus simple, les intervalles de temps sont distribués de manière exponentielle avec des taux constants. La taille de la population est maintenant un processus de saut discontinu qui satisfait une équation intégrale stochastique avec une martingale locale comme composante aléatoire. Plus compliqué et plus intéressant que le cas d'une croissance constante et «non contrôlée» est ce que l'on appelle une croissance lente, dans laquelle le taux de croissance converge vers zéro pour des populations croissantes. On peut distinguer ici les cas de populations mourantes, à croissance linéaire et plus rapide que linéaire. Il en résulte des formules pour la probabilité d'extinction et pour les valeurs attendues des différents  temps d' arrêt - par exemple pour le temps jusqu'à ce que la population atteigne une certaine taille maximale.

Un modèle continu dans le temps pour la dérive génétique , c'est-à-dire pour le développement temporel des fréquences de certains gènes ou allèles dans une population, est la diffusion de Fisher-Wright . Dans le cas le plus simple, deux types d'individus sont considérés dans une population, dont les proportions fluctuent de manière aléatoire et mutent l' une dans l'autre à des taux donnés . L'équation différentielle stochastique associée peut être utilisée pour dériver des conditions permettant de déterminer si une distribution stationnaire est établie dans le temps ou si un type disparaîtra. Dans le second cas, il existe une formule explicite du temps prévu pour l'extinction. Un autre modèle de dérive génétique est le modèle de Moran . L'idée de base ici est que la population évolue à mesure qu'un individu choisi au hasard meurt et qu'un autre se reproduit. La transition vers le temps continu aboutit à nouveau à une équation intégrale stochastique. Les raffinements du modèle prennent également en compte les mutations et les avantages de la sélection .

Il existe de nombreux modèles biologiques qui décrivent spécifiquement l'origine et le développement du cancer . Les modèles oncogènes , qui appliquent le modèle Moran aux cellules mutées et non mutées, sont une approche simple . Les généralisations de ceci sont basées sur l' hypothèse de Knudson , selon laquelle les causes du développement du cancer sont des mutations multiples indépendantes. Le modèle à deux coups utilise des cellules avec zéro, une ou deux mutations. Mathématiquement, le développement de plusieurs types de cellules peut être compris comme un processus de naissance et de mort dans plusieurs dimensions. Une autre approche est le modèle cinétique de Garay et Lefever de 1978, qui conduit à une équation différentielle ordinaire pour la concentration de cellules malignes dans un organisme. Il existe différentes approches qui prennent en compte des fluctuations aléatoires supplémentaires de concentration et conduisent ainsi à différentes équations différentielles stochastiques de manière connue.

Solutions périodiques des équations classiques de Lotka-Volterra, représentées dans l' espace des phases proie-prédateur

La biologie traite également des modèles de développement temporel de plusieurs populations qui s'influencent mutuellement. Une approche simple bien connue à ce sujet, le modèle Lotka-Volterra , examine une population de «prédateurs» et de «proies». Les deux populations satisfont à un système de deux équations différentielles ordinaires dans lesquelles les taux de croissance dépendent de l'autre population. Un inconvénient de cette modélisation simple est qu'elle ne représente pas une extinction d'une population, car comme on peut le prouver mathématiquement, les solutions des équations de Lotka-Volterra sont périodiques et positives pour tous les temps. Cela change si vous introduisez également des composants stochastiques appropriés. Pour le système d'équation différentielle stochastique obtenu de cette manière, le temps prévu jusqu'à ce que la population de proies disparaisse peut maintenant être déterminé.

Littérature

Manuels généraux

• Samuel N. Cohen, Robert J. Elliott: Calcul stochastique et applications . 2e édition. Springer, New York a. une. 2015, ISBN 978-1-4939-2866-8 . 
• Thomas Deck: Le calcul Itô: Introduction et applications . Springer, Berlin et al.2006 , ISBN 3-540-25392-0 . 
• Richard Durrett : Calcul stochastique - Une introduction pratique . CRC Press, Boca Raton et al. une. 1996, ISBN 0-8493-8071-5 . 
• Wolfgang Hackenbroch, Anton Thalmaier: Analyse stochastique - Une introduction à la théorie des semimartingales continus . Springer Fachmedien, Wiesbaden 1994, ISBN 978-3-519-02229-9 . 
• Ioannis Karatzas, Steven E. Shreve: Mouvement brownien et calcul stochastique . 2e édition. Springer, New York 1998, ISBN 0-387-97655-8 . 
• Fima C. Klebaner: Introduction au calcul stochastique avec applications . 3. Édition. Imperial College Press, Londres 2012, ISBN 978-1-84816-831-2 . 
• Jean-François Le Gall : Mouvement brownien, martingales et calcul stochastique . Springer, Berlin / Heidelberg 2013, ISBN 978-3-319-31088-6 . 
• Philip E. Protter: Intégrales stochastiques et équations différentielles . 2e édition (version 2.1). Springer, Berlin et al.2005 , ISBN 3-540-00313-4 . 

Manuels axés sur les mathématiques financières

• Steven Shreve: Calcul stochastique pour la finance I: Le modèle binomial de tarification des actifs . 1ère édition. Springer, New York 2004, ISBN 978-0-387-24968-1 . 
• Steven Shreve: Calcul stochastique pour la finance II: Modèles temporels continus . 1ère édition. Springer, New York 2004, ISBN 978-1-4419-2311-0 . 
• Thomas Björk: Théorie de l'arbitrage en temps continu . 3. Édition. Oxford University Press, New York 2009, ISBN 978-0-19-957474-2 . 
• Albrecht Irle : Finanzmathematik: La valorisation des dérivés . 3. Édition. Springer Spectrum, Wiesbaden 2012, ISBN 978-3-8348-1574-3 . 
• Stefan Reitz: Les mathématiques dans le monde financier moderne: produits dérivés, modèles de portefeuille et procédures de notation . Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2011, ISBN 978-3-8348-0943-8 . 
• Monique Jeanblanc, Marc Yor , Marc Chesney: Méthodes mathématiques pour les marchés financiers . Springer, Dordrecht et al.2009, ISBN 978-1-85233-376-8 . 
• Michael Hoffmann: Intégration stochastique: une introduction aux mathématiques financières . 1ère édition. Springer Spectrum, Wiesbaden 2016, ISBN 978-3-658-14131-8 . 

liens web

• Egbert Dettweiler: Bases de l'analyse stochastique. (PDF) Avril 2006, archivé de l' original le 23 septembre 2016 ; Consulté le 30 septembre 2016 (notes de cours de TU Dresden ). 
• Ramon van Handel: Calcul stochastique, filtrage et contrôle stochastique. (PDF) 29 mai 2007, consulté le 30 septembre 2016 (anglais, notes de cours de l'Université de Princeton ). 
• Christoph Kuhn: Notes de cours "Mathématiques financières en temps constant". (PDF) 8 mai 2016, consulté le 10 novembre 2016 (notes de cours de l'Université Johann Wolfgang Goethe de Francfort-sur-le-Main ). 

Preuve individuelle

Cet article a été ajouté à la liste des excellents articles le 16 novembre 2016 dans cette version .