problèmes de Hilbert

Les problèmes de Hilbert sont une liste de 23 problèmes en mathématiques . Ils ont été présentés par le mathématicien allemand David Hilbert le 8 août 1900 au Congrès international des mathématiciens à Paris et n'étaient pas résolus à ce moment-là.

récit

Préhistoire et contexte

La préparation de Hilbert pour le Congrès des mathématiciens en 1900

Hilbert avait été invité à donner une conférence pour le deuxième congrès international des mathématiciens à Paris en août 1900 . Il a décidé de ne pas donner une « conférence » dans laquelle il donnerait une conférence et apprécierait ce qui avait été réalisé jusqu'à présent en mathématiques, ni de répondre à la conférence d' Henri Poincaré au premier congrès international des mathématiciens en 1897, qui portait sur la relation entre les mathématiques et la physique avaient présenté. Au lieu de cela, sa conférence visait à offrir une perspective programmatique sur les mathématiques futures au siècle à venir . Cet objectif est exprimé dans ses propos introductifs :

Il a donc utilisé le congrès comme une opportunité de compiler une liste thématiquement large de problèmes mathématiques non résolus. Dès décembre 1899, il commence à réfléchir sur le sujet. Au début de la nouvelle année, il a demandé à son ami proche Hermann Minkowski et Adolf Hurwitz des suggestions sur les domaines qu'une conférence correspondante devrait couvrir ; tous deux ont lu le manuscrit et l'ont commenté avant la conférence. Hilbert n'a finalement rédigé sa liste qu'immédiatement avant le congrès - elle n'apparaît donc pas dans le programme officiel du congrès. La conférence devait à l'origine être donnée à l'ouverture, mais Hilbert y travaillait encore à l'époque.

Congrès des mathématiciens

Moins de mathématiciens sont venus au congrès que prévu (environ 250 au lieu des 1000 attendus). Hurwitz et Felix Klein n'étaient pas présents, mais Minkowski. Hilbert était président de la section d'algèbre et de théorie des nombres, qui s'est réunie du 7 août (le deuxième jour de la conférence) au 10 août. La conférence de Hilbert a eu lieu dans les sections 5 et 6 (Bibliographie, Histoire, Enseignement et Méthodes, Présidence de Moritz Cantor ) le mercredi 8 août au matin à la Sorbonne .

Faute de temps, il n'a d'abord présenté que dix problèmes (n° 1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21, 22). Les personnes présentes ont reçu un résumé en français de la liste, qui a paru peu après dans la revue suisse L'Enseignement Mathématique . L' article original allemand complet parut peu de temps après dans les nouvelles de la Société royale des sciences de Göttingen et en 1901 avec quelques ajouts dans les archives de mathématiques et de physique .

En 2000, l'historien allemand Rüdiger Thiele a découvert un 24ème problème dans les notes originales de Hilbert , qui, cependant, manquait dans la version finale de la liste et peut être attribué au domaine de la théorie de la preuve .

Problèmes de travail

Formulation du problème

Les mathématiques au tournant du siècle n'étaient pas encore bien établies. La tendance à remplacer les mots par des symboles et les concepts vagues par une axiomatique stricte n'était pas encore très prononcée et devait seulement permettre à la prochaine génération de mathématiciens de formaliser plus fortement leur sujet. Hilbert ne pouvait pas encore se rabattre sur la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel , des termes tels que l' espace topologique et l' intégrale de Lebesgue ou la thèse de Church-Turing . L' analyse fonctionnelle , qui elle-même entre autres par Hilbert avec l'introduction de l' espace éponyme de Hilbert a été établie, n'avait pas encore comme domaine mathématique du calcul des variations séparé.

Bon nombre des problèmes de la liste de Hilbert ne sont - en partie pour cette raison - pas formulés d'une manière si précise et restreinte qu'ils pourraient clairement être résolus par la publication de preuves . Certains problèmes sont des questions moins concrètes que des appels à la recherche dans certains domaines ; pour d'autres problèmes, les questions sont trop vagues pour pouvoir dire exactement quelle Hilbert aurait envisagé la solution.

Une erreur de Hilbert, cependant, qui n'affecte pas la formulation des problèmes, se trouve dans l'introduction de l'article. Il y exprime sa conviction que chaque problème doit être fondamentalement résolu :

Solvabilité des problèmes

L'optimisme épistémologique fondamental de Hilbert a dû être quelque peu relativisé. Au plus tard en 1931 avec la découverte du théorème d'incomplétude de Gödel et la preuve de Turing de 1936 que le problème de décision ne peut être résolu, l'approche de Hilbert († 1943) dans sa formulation originale peut être considérée comme trop étroite. Cependant, cela ne dévalorise pas la liste, car les solutions négatives, comme le dixième problème, conduisent parfois à un grand gain de connaissances.

Sélection de problèmes

Le choix des problèmes est en partie une sélection très personnelle de Hilbert et découle de son propre travail, bien que, comme mentionné, il ait consulté ses amis proches Minkowski et Hurwitz (qui était connu pour la polyvalence de son travail mathématique et son aperçu encyclopédique) . Ivor Grattan-Guinness cite quelques lacunes notables.

D'une part, la grande conjecture de Fermat et le problème à trois corps (sur lequel Poincaré a beaucoup travaillé), qu'il mentionne dans l'introduction comme premiers exemples de problèmes mathématiques, mais ne les inclut pas dans sa liste. Les mathématiques appliquées sont rarement représentées (tout au plus le problème 6 pourrait y être classé), de même que peu de mathématiques numériques (seulement brièvement évoquées dans le problème 13, dont le noyau est ailleurs) et le sous-domaine d'analyse appelé plus tard analyse fonctionnelle , sur laquelle Hilbert lui-même a travaillé intensivement de 1903 à 1910. L'électrodynamique des corps en mouvement (préhistoire de la théorie de la relativité) manquait également et était un domaine de recherche très actif à cette époque, dans lequel Poincaré travaillait également et sur lequel Joseph Larmor , qui présidait également une section au congrès, publia un livre important de la même année (Éther et Matière) .

D'un autre côté, Grattan-Guinness trouve compréhensible l'omission de la logique mathématique, des statistiques et de la théorie des matrices (algèbre linéaire), car elles n'étaient pas aussi importantes à l'époque qu'elles le sont aujourd'hui. En revanche, dans sa conférence au Congrès international des mathématiciens de 1908 sur l'avenir des mathématiques, en quelque sorte une réponse à Hilbert, Poincaré attachait une grande importance aux applications, mettant l'accent sur le développement futur de la topologie (« géométrie de la situation ») comme une préoccupation centrale des mathématiques (avec Hilbert, il apparaît dans les problèmes 5 et 16) et a également souligné l'importance de la théorie des ensembles ("Cantorisme"), avec Hilbert représenté dans le problème 1. Dans l'ensemble, cependant, sa représentation était beaucoup plus vague et sommaire que celle de Hilbert.

Influence de la liste

Réactions des congressistes

Selon Charlotte Angas Scott , la réaction immédiate au congrès a été décevante, peut-être en raison du style de présentation sec de Hilbert ou de problèmes de langue (Hilbert donnait des conférences en allemand, mais avait auparavant fait distribuer un résumé en français). Giuseppe Peano a pris la parole pour faire remarquer que son école ( Cesare Burali-Forti , Mario Pieri , Alessandro Padoa ) avait essentiellement résolu le problème de la fondation de l'arithmétique et que son élève Alessandro Padoa donnait une conférence sur le même congrès.

Rudolf Mehmke , qui était également présent à la conférence , a fait un commentaire sur les progrès réalisés grâce aux méthodes numériques (nomographiques) dans le problème 13, en particulier dans l'équation du 7e degré. Aucune réaction n'est connue de Poincaré, et il n'était probablement pas présent à la conférence de Hilbert. Après Ivor Grattan-Guinness, il s'intéresse alors plus aux questions appliquées et aussi moins à l'approche axiomatique. Lors du même congrès, il a donné l'une des deux conférences de clôture le 11 août sur le rôle de l'intuition et de la logique en mathématiques et a souligné le rôle de l'intuition. Plus tard, cependant, il a abordé le problème de l'uniformité (problème 22 de Hilbert) et dans sa conférence sur l'avenir des mathématiques au Congrès international des mathématiciens à Rome en 1908, il a également inclus le problème des cycles limites (partie du problème 16, dans que Hilbert a explicitement fait référence à Poincaré a pris) dans sa propre liste de problèmes. Là, il a également félicité Hilbert pour son travail sur la méthode axiomatique et le problème de Dirichlet. Lorsque le volume de la conférence a été publié en 1902, l'importance de la conférence de Hilbert a été expressément reconnue et il a donc été imprimé en dehors de sa section au début, immédiatement suivi de la conférence de Poincaré.

Influence sur le développement des mathématiques

La liste de Hilbert était destinée à influencer le développement ultérieur des mathématiques. Bénéficiant du fait qu'Hilbert était l'un des mathématiciens les plus renommés de sa génération, ce plan fonctionna : il promettait une renommée considérable pour résoudre l'un des problèmes en partie, de sorte que de plus en plus de mathématiciens s'intéressaient aux sujets de la conférence de Hilbert et - eux-mêmes en cas d'échec - ont développé davantage les sous-domaines pertinents. La présentation de cette liste a donc eu une influence considérable sur le développement des mathématiques au XXe siècle.

Bien qu'il y ait eu de multiples tentatives pour reproduire ce succès, aucun autre ensemble de problèmes et de conjectures n'a eu un impact comparable sur le développement des mathématiques. Les conjectures de Weil , du nom du mathématicien André Weil , étaient influentes mais limitées à un sous-domaine de la théorie des nombres , et des listes similaires par John von Neumann au Congrès international des mathématiciens en 1954 (avec peu d'influence, la conférence n'a pas été même publié) et de Stephen Smale sur ( Smale problem ). En 2000, le Clay Mathematics Institute a décerné des prix de 1 million de dollars chacun pour la résolution de sept problèmes importants . Cependant, la célébrité de l'article de Hilbert reste unique à ce jour.

Les problèmes

Au début de sa liste, Hilbert a posé des questions sur la théorie axiomatique des ensembles et d'autres considérations axiomatiques. À son avis, il était particulièrement important que la communauté mathématique clarifie les fondements des mathématiques afin de pouvoir mieux comprendre les énoncés plus approfondis. Cela concernait non seulement les fondements axiomatiques de la géométrie, sur lesquels Hilbert lui-même avait publié un livre peu de temps auparavant (1899), mais aussi la physique. Suivent quelques questions de théorie des nombres , qui sont complétées par des sujets algébriques et enfin par des problèmes de théorie des fonctions et du calcul des variations ou de l'analyse.

Bref aperçu :

• 1. Problème , domaine : logique mathématique
• 2. Problème , domaine : logique mathématique
• 3ème problème , domaine : géométrie
• 4ème problème , domaine : géométrie
• 5ème problème , domaine : topologie algébrique
• 6. Problème , domaine : physique
• 7. Problème , domaine : algèbre
• 8. Problème , domaine : théorie analytique des nombres
• 9. Problème , aire : théorie analytique des nombres
• 10. Problème , domaine : théorie algébrique des nombres
• 11. Problème , domaine : théorie des nombres
• 12. Problème , domaine : théorie algébrique des nombres
• 13. Problème , aire : théorie des nombres
• 14. Problème , domaine : algèbre
• 15. Problème , domaine : géométrie algébrique
• 16. Problème , domaine : courbe algébrique
• 17. Problème , domaine : algèbre
• 18. Problème , domaine : géométrie
• 19. Problème , domaine : calcul des variations
• 20. Problème , domaine : équations différentielles
• 21. Problème , domaine : équations différentielles
• 22. Problème , aire : géométrie différentielle
• 23. Problème , domaine : calcul des variations

Légende:

• Les problèmes qui ont été en grande partie résolus sont surlignés en vert.
• Les problèmes qui ont été partiellement résolus sont surlignés en jaune.
• Les problèmes non résolus sont surlignés en rouge.

Le premier problème de Hilbert

En théorie des ensembles aujourd'hui, les mathématiciens partent pour la plupart de ZFC , le système d' axiome de Zermelo-Fraenkel avec axiome de choix (ce dernier est parfois omis), qui justifie formellement toutes les considérations mathématiques. On peut montrer que sur cette base de nombreux ensembles ont la même puissance, par exemple l'ensemble des nombres réels, l'ensemble des nombres complexes , l'intervalle (réel) ou l' ensemble des puissances des nombres naturels . L' hypothèse du continu dit maintenant que tous les ensembles qui ne peuvent plus être comptés , c'est-à-dire qui ne peuvent pas être mis en relation 1: 1 avec les nombres naturels , ont au moins la puissance des nombres réels. ${\ style d'affichage [0,1]}$

Kurt Gödel a pu montrer en 1939 que l'hypothèse du continu pour ZFC est relativement exempte de contradictions : Si ZFC ne conduit pas à une contradiction, cette propriété est conservée si le système d'axiomes est complété par l'hypothèse du continu. Paul Cohen a finalement pu montrer en 1963 que la négation de l'hypothèse du continu est également relativement cohérente avec ZFC, elle ne peut donc pas être déduite de ZFC. Il s'ensuit que l'hypothèse du continu est indépendante du système classique d'axiomes et peut être utilisée comme un nouvel axiome si nécessaire. Pour le prouver, Cohen a développé l'une des méthodes les plus importantes de la théorie des ensembles axiomatiques, la méthode du forçage , qui a également été utilisée dans l'étude de l'indépendance de nombreux autres théorèmes dans ZFC.

Une question connexe que Hilbert a ajoutée dans la formulation de son problème est de savoir s'il existe un bon ordre des nombres réels. Ernst Zermelo a pu prouver que c'est effectivement le cas sur la base de ZFC. Sans l'axiome du choix, c'est-à-dire dans le système ZF, l'énoncé ne peut pas être montré.

• Donald A. Martin : Premier problème de Hilbert : l'hypothèse du continu . Dans : F. Browder : Développements mathématiques découlant des problèmes de Hilbert . AMS, Partie 1, 1976, pp. 81-92.

Le deuxième problème de Hilbert

En 1889, Giuseppe Peano avait décrit un système arithmétique d'axiomes qui était censé établir le fondement des mathématiques. Hilbert était convaincu qu'il devrait être possible de montrer qu'à partir de cette base seulement en un nombre fini d'étapes (avec des méthodes finies ), aucune contradiction ne peut être générée. Cependant, Kurt Gödel a détruit cet espoir lorsqu'il a montré avec son théorème d'incomplétude en 1930 que cela n'est pas possible en utilisant uniquement les axiomes de Peano . Avec des méthodes transfinies , qui n'étaient pas autorisées selon le programme original de Hilbert, Gerhard Gentzen réussit à prouver la cohérence de l'arithmétique en 1936 .

• Georg Kreisel : Qu'avons-nous appris du deuxième problème de Hilbert ? Dans : F. Browder : Développements mathématiques découlant des problèmes de Hilbert . AMS, Partie 1, 1976, pp. 93-130.

Le troisième problème de Hilbert

Deux corps sont dits égaux si l'un peut être décomposé en un nombre fini de parties afin que les parties individuelles puissent être regroupées pour former le deuxième corps. Dans le plan à deux dimensions, les polygones ont la même aire si et seulement s'ils ont la même décomposition (voir le théorème de Bolyai-Gerwien ). Il existe une théorie élémentaire basée sur la division en triangles de l'aire de figures simples (polygones) délimitée par des côtés droits, et l'on ne dépend pas de méthodes non élémentaires telles que la méthode de l' épuisement , qui nécessite un passage de frontière et pour surfaces avec des bords incurvés Application vient. La question se pose de savoir si ce résultat s'applique également dans l'espace à trois dimensions.

Max Dehn , un élève de Hilbert, a pu répondre à cette question par « Non » dès 1900, peu de temps après la publication des 23 problèmes. Pour ce faire, il a attribué à chaque polyèdre un nombre appelé invariant d'étirement . En plus du volume, il y avait un autre numéro attribué aux polyèdres, qui restait le même (invariant) lorsque les polyèdres étaient décomposés. Il dépendait des angles des côtés voisins dans le polyèdre et de ses longueurs d'arêtes (et est défini comme la somme des produits tensoriels de la longueur des arêtes et de l'angle des côtés adjacents à une arête sur toutes les arêtes du polyèdre). Avec l'observation que chaque cube a l'invariant de Dehn et chaque tétraèdre régulier a un invariant de Dehn différent, l'énoncé suit. Le problème est le premier sur la liste de Hilbert à être résolu. ${\ style d'affichage 0}$${\ style d'affichage 0}$

Alors que Dehn montrait que l'égalité du développement dans l'espace euclidien à trois dimensions requiert l'égalité des nombres de développement (cela était déjà clair pour le volume), JP Sydler montrait en 1965 que cela était également suffisant : deux polyèdres sont égaux au développement si et seulement si le volume et le numéro d'extension sont les mêmes. Pour plus de quatre dimensions (pour quatre dimensions un théorème similaire peut être prouvé à l'aide d'invariants de Hadwiger au lieu d'invariants de Dehn, généralisations d'invariants de Dehn sur des dimensions supérieures introduites par Hugo Hadwiger ) ou, par exemple, l'espace non euclidien, non un résultat comparable est connu. Si l'on restreint les mouvements aux translations, cependant, l'égalité de décomposition des polyèdres peut être caractérisée à l'aide des invariants de Hadwiger en toutes dimensions.

• CH Saw : Troisième problème de Hilbert : congruence des ciseaux . Pitman, 1979.
• VG Boltianskii : Le troisième problème de Hilbert . Wiley, 1978.

Le quatrième problème de Hilbert

Pendant plus de 2000 ans, la géométrie a été enseignée en utilisant les cinq axiomes d'Euclide. Vers la fin du XIXe siècle, on a commencé à étudier les conséquences de l'ajout et de la suppression de différents axiomes. Lobatchevsky a examiné une géométrie dans laquelle l' axiome des parallèles ne tient pas, et Hilbert a examiné un système dans lequel l' axiome d'Archimède était absent. Hilbert a finalement examiné en détail les fondements axiomatiques de la géométrie dans son livre du même nom. Dans ses 23 problèmes, il a finalement réclamé une "liste et un traitement systématique des [...] géométries" qui satisfont à un certain système d'axiomes dans lequel le lien le plus court entre deux points est toujours la ligne droite entre les points. Le problème correspond à l'étude de géométries aussi proches que possible de la géométrie euclidienne habituelle. Dans le système d'axiomes de la géométrie euclidienne de Hilbert les axiomes d'incidence, d'arrangement et de continuité sont conservés, mais les axiomes de congruence sont affaiblis : l' axiome fort de congruence III-6 (congruence triangulaire) n'est plus supposé, mais que la longueur de la côtés d'un triangle est inférieur ou égal à Est la somme des longueurs des deux autres (ce qui équivaut au fait que la droite est la connexion la plus courte entre deux points). Le théorème d'Euclide selon lequel la ligne droite est la connexion la plus courte entre deux points a été dérivé à l'aide du théorème de congruence triangulaire. Hilbert a trouvé un exemple d'une telle géométrie proche de la géométrie euclidienne avec les nouveaux postulats de la géométrie des nombres par Hermann Minkowski et Hilbert lui-même a donné un autre exemple.

Dès 1901, Georg Hamel , un élève de Hilbert, a pu faire des déclarations importantes sur de tels systèmes dans sa thèse, qu'il a publiée en 1903. Dans le cas de l'avion, il a pu spécifier et classer toute une série de telles géométries, dont les géométries de Hilbert et Minkowski mentionnées sont des exemples typiques. Selon Isaak Moissejewitsch Jaglom , Hamel a résolu le quatrième problème de Hilbert d'une certaine manière, avec la restriction qu'il a utilisé des méthodes analytiques du calcul des variations, qui sont moins souhaitables en recherche géométrique fondamentale car elles font des hypothèses supplémentaires (exigences de différentiabilité). Au cours des décennies à venir, des articles ont été publiés à plusieurs reprises qui ont contribué à d'autres résultats au quatrième problème de Hilbert. Entre autres choses, Herbert Busemann s'est longuement penché sur les géométries en question et a écrit une monographie à ce sujet. Selon Busemann, Hilbert a poussé le problème trop loin, probablement parce qu'il ne comprenait pas combien de telles géométries existaient, et des restrictions supplémentaires (axiomes) doivent être supposées. La méthode de Busemann a été étendue par Alexei Wassiljewitsch Pogorelow , qui a publié une monographie sur le quatrième problème en 1979.

• Herbert Busemann : La géométrie des géodésiques . Presse académique 1955, Douvres 2005.
• Herbert Busemann : Problème IV : Espaces desarguesiens . Dans : F. Browder : Développements mathématiques découlant des problèmes de Hilbert . AMS, Partie 1, 1976, pp. 131-141.
• AV Pogorelov : le quatrième problème de Hilbert . Winston & Wiley, 1979.

Le cinquième problème de Hilbert

À la fin du XIXe siècle, Sophus Lie et Felix Klein s'efforcent d'axiomatiser la géométrie par des moyens théoriques de groupe , mais en se basant sur des hypothèses sur la différentiabilité de certaines fonctions. Hilbert s'est demandé de quelle manière la théorie tient encore sans ces hypothèses. Comme le domaine de la topologie algébrique ne s'est développé qu'au 20ème siècle, la formulation du problème a changé au fil du temps. La version originale de Hilbert ne faisait référence qu'aux groupes de transformation continue.

Une formulation plus détaillée du problème est la suivante: Soit un groupe avec un élément neutre , un ensemble ouvert dans l' espace euclidien qui contient, et en continu la carte qui vérifie les axiomes de groupe sur la partie ouverte de . La question est alors de savoir si sur un voisinage de lisse , c'est-à-dire infiniment souvent , est dérivable . Après John von Neumann (1933, solution pour les groupes compacts), Lew Pontryagin (1939, solution pour les groupes abéliens) et Claude Chevalley (groupes topologiques résolubles, 1941) ont pu résoudre des cas particuliers (et d'autres mathématiciens ont pu résoudre le problème pour dimensions jusqu'à quatre), succèdent à Andrew Gleason , Deane Montgomery et Leo Zippin dans les années 1950, la dernière clarification du problème. Ils ont même prouvé que les groupes topologiques localement euclidiens sont réels-analytiques. ${\ style d'affichage G}$ ${\ style d'affichage e}$ ${\ style d'affichage U}$${\ style d'affichage e}$ ${\ displaystyle F \ deux-points V \ fois V \ à U}$${\ style d'affichage V}$${\ style d'affichage U}$${\ style d'affichage F}$${\ style d'affichage e}$

La preuve était très technique et compliquée. Joram Hirschfeld a donné une preuve plus simple dans le cadre de l' analyse non standard . Le problème était très à la mode dans l'après-guerre et la solution trouvée en 1952 mettait pratiquement fin au domaine de la recherche après Jean-Pierre Serre , qui tentait alors de le résoudre lui-même.

La question est ouverte : un groupe topologique localement compact, dont les opérations de groupe fonctionnent fidèlement sur une variété topologique, est-il un groupe de Lie ? (Conjecture de Hilbert-Smith d'après Hilbert et Paul A. Smith ). Un exemple serait les entiers p-adiques . Il ne s'applique pas à ceux-ci qu'ils n'ont pas de petits sous-groupes - une condition qui, selon Gleason, Montgomery et Zippin, caractérise les groupes de Lie parmi les groupes topologiques localement compacts. Un groupe topologique n'a pas de petits sous-groupes s'il existe un voisinage de l'unité qui ne contient pas de sous-groupes supérieurs à . Certains mathématiciens voient la conjecture de Hilbert-Smith comme la formulation réellement correcte du problème de Hilbert. ${\ style d'affichage e}$${\ style d'affichage \ {e \}}$

• A. Gleason : Groupes sans petits sous-groupes . Annals of Mathematics , Tome 56, 1952, pp. 193-212.
• D. Montgomery, L. Zippin : Petits groupes de groupes de dimension finie. Annals of Mathematics, Volume 56, 1952, pp. 213-241.
• I. Kaplansky : Algèbres de Lie et groupes localement compacts . Presse de l'Université de Chicago, 1964.
• CT Yang : Cinquième problème de Hilbert et problèmes connexes sur les groupes de transformation . Dans : F. Browder : Développements mathématiques découlant des problèmes de Hilbert . AMS, Partie 1, 1976, pp. 142-146.

Le sixième problème de Hilbert

Selon Leo Corry , le sixième problème ne prend pas un rôle extérieur dans la liste des problèmes pour Hilbert, comme on le suppose souvent, mais correspondait de manière centrale à ses intérêts sur une longue période de temps (au moins de 1894 à 1932 ). Ce programme comprend, par exemple, sa dérivation bien connue des équations de champ de la relativité générale à partir d'un principe de variation (1916). Selon Corry, il existe également un malentendu sur la conception de Hilbert de son programme d'axiomatisation, qui était principalement basé sur le programme ultérieur de Hilbert pour la fondation des mathématiques, qui, en relation avec la physique, a principalement servi à clarifier la structure logique des théories établies. Au moment de sa conférence, Hilbert suivait encore la tradition du 19ème siècle de vouloir réduire la physique à la mécanique, et sa formulation à cette époque se concentrait sur la mécanique, fortement influencée par les recherches de Heinrich Hertz sur les fondamentaux de la mécanique et par Ludwig Boltzmann (passage de la mécanique statistique à la mécanique des continus). Plus tard, l'intérêt de Hilbert est allé beaucoup plus loin que cela; en 1905 au plus tard, il l'a également étendu pour inclure l'électrodynamique, qu'il n'avait pas explicitement mentionnée dans sa liste de problèmes. En 1905, il donna une conférence sur l'axiomatisation de la physique, dans laquelle il incluait entre autres la thermodynamique et l'électrodynamique. Ses efforts pour axiomatiser la géométrie étaient également motivés pour donner une base stricte à une théorie fondamentalement empirique (et pour la simplifier). Puisqu'il a également inclus la théorie des probabilités, l' axiomatisation d' Andrei Kolmogorow peut être considérée comme une contribution au programme de Hilbert.

Il y a toujours eu des approches des axiomatisations dans des sous-domaines de la physique, par exemple la thermodynamique ( Constantin Caratheodory ), la théorie quantique des champs ( axiomes d' Arthur Wightman et Wightman , Rudolf Haag , Daniel Kastler , Huzihiro Araki et Haag-Kastler, axiomes d' Osterwalder- Schrader ) , théorie quantique topologique des champs , théories conformes des champs et physiciens qui ont traité la structure de base des théories physiques comme Günther Ludwig .

• Joseph Kouneiher (Ed.) : Fondements des mathématiques et de la physique un siècle après Hilbert : nouvelles perspectives, Springer 2018
• Leo Corry : Sixième problème de Hilbert : entre les fondements de la géométrie et l'axiomatisation de la physique . Phil. Trans. R. Soc. A 376 (2118), 2018, 20170221; doi : 10.1098 / rsta.2017.0221 .
• Arthur Wightman : sixième problème de Hilbert : traitement mathématique des axiomes de la physique . Dans : F. Browder : Développements mathématiques découlant des problèmes de Hilbert . AMS, Partie 1, 1976, pp. 147-240.

Le septième problème de Hilbert

Un nombre complexe est dit algébrique s'il est le zéro d'un polynôme à coefficients entiers, sinon il est dit transcendant . Par exemple, la racine carrée de 2 est un nombre qui n'est plus rationnel , mais toujours algébrique comme un zéro de . Les nombres réels qui ne sont plus algébriques (et donc transcendants ) sont par exemple le nombre de cercle ou le nombre d'Euler . ${\ style d'affichage x ^ {2} -2}$ ${\ style d'affichage \ pi}$ ${\ style d'affichage e}$

A l'époque de Hilbert, il y avait déjà des résultats sur la transcendance des différents nombres. Le problème ci-dessus lui semblait particulièrement difficile et il espérait que sa solution permettrait de mieux comprendre la nature des nombres. Après que le problème ait été résolu pour la première fois pour quelques cas particuliers ( Alexander Gelfond 1929, Rodion Kusmin 1930), Alexander Gelfond a pu prouver la déclaration en 1934. Peu de temps après, Theodor Schneider a encore amélioré la phrase, de sorte que la réponse au septième problème de Hilbert est maintenant connue sous le nom de théorème de Gelfond-Schneider .

Le septième problème de Hilbert peut également être compris comme une déclaration sur les paires de logarithmes de nombres algébriques (à savoir que leur indépendance linéaire sur les nombres rationnels entraîne l'indépendance linéaire sur les nombres algébriques). Dans cette formulation, la phrase a été considérablement élargie par Alan Baker .

À une généralisation de la question de Hilbert répondrait une preuve ou une réfutation de la conjecture de Schanuel que Stephen Schanuel a avancée dans les années 1960.

• Robert Tijdeman : Septième problème de Hilbert : la méthode Gelfond-Baker et ses applications . Dans : F. Browder : Développements mathématiques découlant des problèmes de Hilbert . AMS, Partie 1, 1976, pp. 241-268.

Le huitième problème de Hilbert

Les deux problèmes mentionnés sont connus sous le nom d' hypothèse de Riemann et d' hypothèse de Goldbach et sont deux des problèmes non résolus les plus populaires en mathématiques. Plus d'un billion de zéros ont déjà été calculés pour la première question et aucun n'a été trouvé qui fausserait l'hypothèse. La deuxième question a déjà été examinée jusqu'à l' ordre de grandeur . Mais à ce jour, aucune preuve n'a été trouvée. La preuve de l'analogue de la conjecture de Riemann pour les courbes sur les corps finis par Pierre Deligne , qui fait partie des conjectures de Weil , a été considérée comme une avancée significative . ${\ style d'affichage 10 ^ {18}}$

Sous la rubrique "Problèmes des nombres premiers", Hilbert a compilé encore plus de questions liées aux nombres premiers . Par exemple, il mentionne le (aussi encore non résolu) question de savoir s'il y a un nombre infini de nombres premiers jumeaux et si l'équation avec entier arbitraire, relativement premiers coefficients , et toujours prime solutions numériques , est une légère modification de la conjecture de Goldbach et de même non résolu. ${\ displaystyle hache + par + c = 0}$${\ style d'affichage a}$${\ style d'affichage b}$${\ style d'affichage c}$${\ style d'affichage x}$${\ style d'affichage y}$

• Enrico Bombieri : Le 8ème problème de Hilbert : un analogue . Dans : F. Browder : Développements mathématiques découlant des problèmes de Hilbert . AMS, Partie 1, 1976, pp. 269-274.
• Hugh Montgomery : Problèmes concernant les nombres premiers (problème de Hilbert 8) . Dans : F. Browder : Développements mathématiques découlant des problèmes de Hilbert . AMS, partie 1, 1976, page 307.

Le neuvième problème de Hilbert

La loi de réciprocité quadratique prouvée par Gauss (formulée avec le symbole de Legendre ) :

${\ displaystyle \ left ({\ frac {p} {q}} \ right) \ left ({\ frac {q} {p}} \ right) = (- 1) ^ {{\ frac {p-1} {2}} {\ frac {q-1} {2}}}}$

donne des critères pour résoudre des équations quadratiques en arithmétique modulaire et, avec ses généralisations, a joué un rôle central dans la théorie algébrique des nombres. Au 19ème siècle, diverses lois supérieures de réciprocité étaient déjà connues, également de Hilbert dans son rapport de nombres , où il a introduit des symboles de Hilbert dans la formulation . Hilbert a demandé une formulation et une preuve pour les corps de nombres algébriques généraux . Avec le développement de la théorie des champs de classes à partir de Teiji Takagi , les moyens nécessaires étaient disponibles pour qu'Emil Artin puisse résoudre le problème du développement abélien des corps de nombres algébriques ( loi de réciprocité d'Artin , 1924), et Helmut Hasse a également prouvé les théorèmes de réciprocité en théorie des champs de classe. En 1948 , Igor Schafarewitsch fit d'importants progrès sur la question des formules explicites de cette loi de réciprocité , avec Helmut Brückner , Sergei Wladimirowitsch Vostokow et Guy Henniart simplifiant et élargissant ses résultats. Une généralisation supplémentaire au cas non abélien n'a pas pu être atteinte jusqu'à présent et est l'un des principaux problèmes de la théorie algébrique des nombres, également liée au 12ème problème de Hilbert.

• John T. Tate : La loi générale de réciprocité . Dans : F. Browder : Développements mathématiques découlant des problèmes de Hilbert . AMS, Partie 2, 1976, pp. 311-323.

Le dixième problème de Hilbert

Les équations diophantiennes sont des équations de la forme , où un polynôme est à plusieurs variables et à coefficients entiers et seuls les nombres entiers sont considérés comme des solutions. Un exemple bien connu est l'équation liée au théorème de Pythagore . Les équations diophantiennes jouent un rôle important dans l'histoire des mathématiques, et de nombreux grands mathématiciens ont largement étudié ces formules. ${\ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) = 0}$${\ style d'affichage f}$${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -z ^ {2} = 0}$

Bien que des cas particuliers puissent toujours être résolus, une solution générale semblait inaccessible aux mathématiciens du XIXe siècle. Par conséquent, Hilbert a seulement demandé comment on peut vérifier si une équation diophantienne donnée a des solutions entières, sans pouvoir les énoncer avec précision. Cependant, ce problème est encore si difficile que ce n'est qu'en 1970 que Yuri Matiyasevich a pu prouver qu'une telle procédure n'existe pas pour le cas général. Julia Robinson , Martin Davis et Hilary Putnam ont fait le travail préparatoire .

Lorsque l'on considère la résolvabilité algorithmique, il suffit de considérer les équations diophantiennes du quatrième degré ou moins, auxquelles le problème peut être réduit ( Thoralf Skolem 1934). Selon Matyasevich, il n'y a pas d'algorithme pour l'équation diophantienne générale du quatrième degré. La question non résolue est de savoir s'il existe une telle chose pour l'équation cubique générale. Pour les équations quadratiques et linéaires, cependant, Carl Ludwig Siegel a montré en 1972 qu'un tel algorithme existe.

Si l'on regarde l'anneau des nombres entiers algébriques au lieu des solutions dans les nombres entiers, il existe un tel algorithme selon Robert Rumely (1986).

• Martin Davis, Reuben Hersh : le dixième problème de Hilbert . Scientific American, Volume 229, novembre 1973.
• Martin Davis : Le dixième problème de Hilbert est insoluble . American Mathematical Monthly, Volume 80, 1973, pp. 233-269.
• Martin Davis, Yuri Matiyasevich, Julia Robinson : dixième problème de Hilbert, équations diophantiennes, aspects positifs d'une solution négative . Dans : F. Browder : Développements mathématiques découlant des problèmes de Hilbert . AMS, Partie 2, 1976, pp. 323-378.
• Yuri Matiyasevich : Le dixième problème de Hilbert . MIT Press, 1996.
• Alexandra Shlapentokh : Le dixième problème de Hilbert : classes diophantiennes et extensions aux champs globaux . Cambridge UP, 2006.

Onzième problème de Hilbert

Une forme carrée est fonction de la forme , où sont un vecteur et une matrice symétrique . Au 19ème siècle, une connaissance approfondie des formes quadratiques a été acquise sur les nombres rationnels. Hilbert a posé des questions sur les extensions à n'importe quel champ de nombres algébriques et à n'importe quel nombre de variables. Dans les décennies qui ont suivi la conférence de Hilbert, de nombreux résultats ont été publiés qui traitent en détail du sujet. Le principe local-global , que Helmut Hasse a formulé en 1923 (théorème de Hasse-Minkowski), compte comme résultat central . Suit alors la résolvabilité globale (sur le corps des nombres rationnels, un corps global ) de la locale (sur les corps locaux , le corps des nombres p-adiques et réels) pour les formes quadratiques . D'autres contributions ont été apportées par Ernst Witt (théorie géométrique des formes carrées) et Carl Ludwig Siegel (théorie analytique).${\ displaystyle q (x) = x ^ {T} Ax}$${\ style d'affichage x}$${\ style d'affichage A}$

• Timothy O'Meara : Onzième problème de Hilbert : la théorie arithmétique des formes quadratiques . Dans : F. Browder : Développements mathématiques découlant des problèmes de Hilbert . AMS, Partie 2, 1976, pp. 379-400.

Le douzième problème de Hilbert

Le théorème de Kronecker-Weber dit que le développement abélien maximal du champ des nombres rationnels est créé par l' adjonction de toutes les racines de l' unité (champ de division circulaire). Dans ce cas, des valeurs spéciales de la fonction exponentielle sont adjointes aux nombres rationnels, en général elles peuvent également être des valeurs d'autres fonctions spéciales telles que les fonctions elliptiques (le lien entre les extensions de champs de nombres quadratiques imaginaires et les courbes elliptiques avec la multiplication complexe a fait l'objet du « Jugendtraum » de Kronecker , et l'on voudrait une description explicite de ces extensions. Hilbert attachait une grande importance à la généralisation de ce théorème. Bien qu'il y ait eu de nombreuses avancées dans le domaine au 20ème siècle (par exemple les corps dits CM selon Gorō Shimura et Yutaka Taniyama (leur monographie est parue en 1961), qui sont associés à des variétés abéliennes à multiplication complexe), à ​​une solution par Hilberts Cependant, le douzième problème ne s'est pas encore posé.

• Robert Langlands : Quelques problèmes contemporains avec des origines dans le Jugendtraum (problème de Hilbert 12) . Dans : F. Browder : Développements mathématiques découlant des problèmes de Hilbert . AMS, Partie 2, 1976, pp. 401-418 (en ligne ).
• Norbert Schappacher : On the history of Hilbert's twelfth problem, in : Michele Audin (Ed.), Matériaux pour l'histoire des mathématiques au XXe siècle Actes du colloque à la mémoire de Jean Dieudonné (Nice 1996), SMF 1998

Le treizième problème de Hilbert

Le problème a ses racines dans la théorie des équations algébriques, dont on sait depuis Galois et Abel que les solutions des équations du cinquième degré et plus ne peuvent être données en fonction des coefficients en utilisant les opérations arithmétiques élémentaires et les expressions radicales. La réduction à des formes standard, par exemple avec des transformations de Tschirnhaus et l'adjonction d'autres équations dans une variable, n'a généralement pas conduit au succès souhaité. Bien que l'équation du cinquième degré puisse être réduite à une forme standard avec un paramètre, l'équation du sixième degré à une avec deux paramètres, l'équation du septième degré n'a réussi à la réduire qu'à une forme normale avec trois paramètres a, b et c :

${\ displaystyle f ^ {7} + a \, f ^ {3} + b \, f ^ {2} + c \, f + 1 = 0}$

Hilbert soupçonnait que cela ne pouvait pas être réduit à deux paramètres, même pas dans la grande classe des fonctions continues. Sous cette forme générale, s'il existe des fonctions continues dans trois variables qui ne peuvent pas être représentées comme une concaténation de fonctions continues en nombre fini dans deux variables, la conjecture de Hilbert a été réfutée par Andrei Kolmogorow et Wladimir Arnold en 1957. Kolmogorow a d'abord montré que chaque fonction continue de variables peut être exprimée par celles de trois variables par superposition, et son élève Arnold a amélioré cela à deux variables. Les fonctions utilisées n'ont même pas besoin d'être dérivables et donc pas algébriques non plus. ${\ style d'affichage n}$

La conjecture est restée ouverte lorsque l'on considère d'autres classes qui incluent les fonctions algébriques. Dans le cas des fonctions analytiques, Hilbert avait déjà trouvé dans le cas de trois variables qu'il y a celles de trois variables qui ne peuvent pas être représentées par celles de deux variables, et Alexander Markowitsch Ostrowski a prouvé en 1920 que celles de deux variables ne peuvent généralement pas être représentées par ceux dans une variable sont représentables. La question de savoir si les fonctions p-fois continûment dérivables de n variables peuvent être représentées par q-fois dérivables de m variables a également été examinée. Wituschkin a montré en 1955 que cela n'est généralement pas possible pour. peut être comprise comme une mesure de la complexité des fonctions dérivables p-fold dans n variables.${\ displaystyle {\ frac {m} {q}} <{\ frac {n} {p}}}$${\ displaystyle {\ frac {n} {p}}}$

Le problème résolu demande le minimum k, de sorte que les solutions d'une équation algébrique du nième degré peuvent être exprimées en superposant des fonctions algébriques de k variables. Car est . Dans un ouvrage de 1926, Hilbert a supposé que dans chaque cas pour et a trouvé que dans . Anders Wiman a montré que pour de vrais Plus de résultats obtenus Nikolai Chebotaryov , par exemple pour . A partir de 2016, Benson Farb et Jesse Wolfson ont également traité cette variante du 13ème problème de Hilbert et ont obtenu des résultats partiels pour les polynômes d'un degré plus élevé dans la limitation de k (le degré de résolution selon Richard Brauer ), qu'ils considèrent comme le véritable formulation du 13ème problème de Hilbert. Vladimir Arnold a également déclaré dans une revue de l'œuvre de sa vie que, selon son opinion actuelle, la question de la représentation (superposition) d'une fonction algébrique à trois variables par une variable sur deux correspondrait davantage au problème de Hilbert.${\ style d'affichage n = 5}$${\ style d'affichage k = 1}$${\ style d'affichage k = 2,3,4}$${\ style d'affichage n = 6,7,8}$${\ style d'affichage n = 9}$${\ style d'affichage k = 4}$${\ displaystyle n \ geq 9}$${\ displaystyle k \ leq n-5}$${\ displaystyle k \ leq n-6}$${\ displaystyle n \ geq 21}$

• George G. Lorentz : Le 13ème problème de Hilbert . Dans : F. Browder : Développements mathématiques découlant des problèmes de Hilbert . AMS, Partie 2, 1976, pp. 419-430.
• Jean-Pierre Kahane : Le 13èmeproblemème de Hilbert : un carrefour de l'algèbre, de l'analyse et de la géométrie . In : Cahiers du séminaire d'histoire des mathématiques . Volume 3, 1982, pp. 1-25 (en ligne ).
• Anatoly Georgijewitsch Wituschkin : Sur le treizième problème de Hilbert . In : P. Alexandrov (Ed.) : Les problèmes de Hilbert . Harri Deutsch, 1998.

Le quatorzième problème de Hilbert

Dans le quatorzième problème, Hilbert décrit des anneaux spéciaux : Soit un anneau polynomial sur un corps , un sous-corps du corps des fonctions rationnelles en variables, et soit l'intersection ${\ displaystyle K [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}$ ${\ style d'affichage K}$${\ displaystyle L \ subseteq K (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$${\ style d'affichage n}$${\ style d'affichage R}$

${\ displaystyle R: = L \ cap K [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}].}$

La question est alors de savoir si les anneaux ainsi construits sont toujours de type fini , c'est-à-dire s'il existe un sous-ensemble fini de l'anneau qui engendre. ${\ style d'affichage R}$

Le problème trouve son origine dans le cercle de la théorie des invariants (anneaux de sous l'action de certains groupes de polynômes invariants) florissant à la fin du XIXe siècle, dans lequel Hilbert lui-même avait fait sensation en 1890, en prouvant la productibilité finie du anneaux invariants polynomiaux dans le cas de certains semi-simples classiques Groupes de Lie (comme le groupe linéaire général et spécial) et considération sur les nombres complexes. Ce faisant, il a utilisé le théorème de base qu'il avait prouvé . Cela a été par Hermann Weyl a ensuite été étendu à tous les groupes de Lie semi-simples. Oscar Zariski a formulé le problème dans le contexte de la géométrie algébrique.

Jusqu'aux années 1950, il a été possible de prouver pour certains cas particuliers, notamment et (Oscar Zariski), que les anneaux ainsi construits sont en réalité finis. Les résultats suggèrent donc que cette déclaration pourrait également s'appliquer à tous les anneaux du type décrit. Par conséquent, le résultat de Masayoshi Nagata a été une surprise , qui a donné un contre-exemple en 1957, dans lequel ce n'est pas le cas, et a ainsi résolu le problème négativement.${\ style d'affichage n = 1}$${\ style d'affichage n = 2}$

• Masayoshi Nagata : Sur le 14ème problème de Hilbert . American Journal of Mathematics, Volume 81, 1959, pp. 766-772, ISSN  0002-9327 .
• David Mumford : Quatorzième problème de Hilbert - la génération finie de sous-anneaux tels que les anneaux d'invariants . Dans : F. Browder : Développements mathématiques découlant des problèmes de Hilbert . AMS, Partie 2, 1976, pp. 431-444.

Le quinzième problème de Hilbert

Le calcul de comptage de Schubert remonte au 19ème siècle et concerne les intersections de variétés algébriques. Il a été repris par l'école italienne de géométrie algébrique ( Francesco Severi et autres), mais ils ont utilisé des méthodes non strictes (arguments de continuité heuristique pour l'invariance des nombres d'intersection). Avec le développement ultérieur de la géométrie algébrique au 20ème siècle, des aides mathématiques sont progressivement devenues disponibles avec lesquelles les travaux d' Hermann Schubert pourraient être formalisés (notamment la théorie des multiplicités d' Alexander Grothendieck , Pierre Samuel , les travaux topologiques de René Thom , les contributions, entre autres, de Steven Kleiman , William Fulton , Robert MacPherson , Michel Demazure ). La zone problématique s'appelle aujourd'hui la géométrie de comptage . Cependant, le problème ne peut pas être considéré comme résolu.

• Steven Kleiman : Fondement rigoureux du calcul énumératif de Schubert . Dans : F. Browder : Développements mathématiques découlant des problèmes de Hilbert . AMS, Partie 2, 1976, pp. 445-482.

Le seizième problème de Hilbert

Les courbes algébriques sont des sous-ensembles du plan qui sont déterminés par des équations polynomiales. Il s'agit par exemple du cercle unité ( ) ou de simples droites ( ). En 1876, Axel Harnack a pu montrer que de tels ensembles de polynômes de degré (également appelés courbes -ième ordre) peuvent être constitués d'au plus des parties (composantes connexes) qui ont la forme de courbes fermées (ovales) (puisque le plan projectif est éventuellement considéré sous Inclusion du point à l'infini). Il a également pu construire des exemples qui atteignent également ce nombre maximum (« courbes M »). ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$${\ displaystyle hache + b = y}$${\ style d'affichage n}$${\ style d'affichage n}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} (n-1) (n-2) +1}$

Hilbert a traité le cas en utilisant des méthodes différentes de celles de Harnack en 1891 et a trouvé des configurations supplémentaires qui ne pouvaient pas être trouvées par les méthodes de construction de Harnack. Il a constaté que les pièces ne pouvaient pas être disposées n'importe où dans l'avion. Par exemple, il a supposé que les onze composants des courbes M de sixième ordre se trouvent toujours de telle sorte que neuf composants sont à l'intérieur d'une boucle et que le dernier composant s'exécute en dehors de cette boucle (ou vice versa dans la configuration de Harnack, neuf composants sont à l'extérieur et un Composant dans un autre) et demandé dans la première partie du seizième problème d'étudier plus en détail les relations de ce type. ${\ style d'affichage n = 6}$

Cela s'est produit avec le développement de la topologie des variétés algébriques réelles . Ivan Georgijewitsch Petrowski a reconnu le rôle des invariants topologiques dans le problème dans les années 1930 (et, indépendamment, aussi l'étudiante de Hilbert Virginia Ragsdale ) et en 1949, avec Olga Oleinik, il a prouvé des inégalités pour le problème, qui incluaient la caractéristique d'Euler. L'hypothèse faite par Hilbert pour les courbes du sixième degré a été réfutée en 1969 par DA Gudkov dans sa thèse d'habilitation, après avoir pensé dans sa thèse de 1954 qu'il en avait trouvé la preuve. Dans son habilitation, son superviseur n'aimait pas le fait que la figure résultante de toutes les configurations n'était pas symétrique et il a finalement trouvé dans le cas maximum une configuration supplémentaire qui avait manqué à Hilbert : cinq ovales dans un autre et cinq à l'extérieur. Il a complété la classification (sauf pour l'isotopie) des courbes projectives algébriques planes non singulières de degré 6.

Depuis Hilbert, la procédure pour les courbes M a consisté en la déformation de courbes de sortie non singulières (méthode Hilbert-Rohn-Gudkov), mais nécessitait une théorie de la singularité avancée qui n'existait pas encore à l'époque de Hilbert. Gudkov a émis l'hypothèse que dans le cas de courbes planes de degré pair, le nombre maximal d'ovales s'applique ( c'est le nombre d'ovales pairs, c'est-à-dire contenus dans un nombre pair d'ovales, et le nombre d'ovales impairs). En 1971, Wladimir Arnold a prouvé un résultat partiel ( ) et en même temps formulé le problème de telle manière (par complexification et considération sur la sphère de Riemann) que la véritable raison topologique de la restriction des configurations est devenue claire. Bientôt, Wladimir Abramowitsch Rochlin publia une preuve du reste de la conjecture de Gudkov, mais découvrit bientôt qu'elle était fausse, tout comme la conjecture. Mais il a trouvé une version généralisée (avec une congruence modulo 16 au lieu de 8) et l'a prouvée. Arnold lui-même et d'autres ont également prouvé des inégalités (pour les invariants numériques liés à la position des ovales). Le cas de la classification en courbes du septième degré a été résolu en 1979 par Oleg Viro , de sorte que le cas de la classification des courbes algébriques projectives planaires non singulières à isotopiques est résolu à (avec des avancées significatives dans le cas des M-courbes ), avec les affaires simples ont été résolues dès le XIXe siècle. ${\ style d'affichage d = 2k}$${\ displaystyle po = k ^ {2} {\ bmod {8}}}$${\ style d'affichage p}$${\ style d'affichage o}$${\ displaystyle po = k ^ {2} {\ bmod {4}}}$${\ displaystyle n \ leq 7}$${\ style d'affichage n = 8}$${\ displaystyle n \ leq 5}$

D'autres résultats mentionnés par Hilbert concernent l'équivalent tridimensionnel de la question : Karl Rohn a montré dès le 19e siècle que les surfaces algébriques du quatrième ordre peuvent être constituées d'un maximum de douze surfaces. La limite supérieure exacte n'était pas connue à l'époque. VM Kharlamov prouva en 1972 que c'est 10 et il termina ces études de surfaces quartiques non singulières en trois dimensions en 1976. Les problèmes explicitement posés par Hilbert furent ainsi résolus par l'école de Leningrad (DA Gudkov, VM Kharlamov, Vladimir Arnold, Vladimir Abramovich Rochlin ) finalement résolu dans la période de 1969 à 1972.

Alors que la première partie du 16ème problème de Hilbert concerne la géométrie algébrique réelle plane, la seconde partie s'interroge sur l'existence d'une borne supérieure pour le nombre de cycles limites des systèmes dynamiques polynomiaux plans et des déclarations sur leur position relative. Le problème reste non résolu et a été ajouté à la liste des problèmes mathématiques de Stephen Smale . Outre la conjecture de Riemann, Smale considère que le problème est le plus difficile des problèmes de Hilbert. Il n'y a même pas eu de progrès significatifs dans la résolution du problème, et même pour les polynômes de degré, la limite supérieure n'est pas connue. On sait seulement que le nombre de cycles limites est fini ( Juillet Sergueïevitch Ilyachenko , Jean Écalle , après qu'une démonstration d' Henri Dulac de 1923 s'est avérée erronée). ${\ style d'affichage n = 2}$

• Oleg Viro : Le 16ème problème de Hilbert, une histoire de mystère, d'erreurs et de solution . Diapositives de présentation, Uppsala 2007 ( PDF; 2,9 Mo ).

Le dix-septième problème de Hilbert

Une fonction avec la propriété que pour tous (aux points où elle est définie, c'est-à-dire non divergente) est également appelée définie. ${\ style d'affichage f}$${\ displaystyle f (x_ {1}, \ cdot \ cdot \ cdot, x_ {n}) \ geq 0}$${\ displaystyle x_ {i} = a_ {i} \ dans k}$

Pour les variables, Hilbert lui-même a résolu le problème en 1893. ${\ style d'affichage n = 2}$

Le problème général a été résolu de manière positive par Emil Artin en 1927 . Le travail a été le point de départ de la théorie des corps formellement réels et des corps ordonnés en algèbre (voir aussi les corps réels fermés ), développée par Artin et Otto Schreier . Il était également important pour le développement de la géométrie algébrique réelle.

Artin a prouvé : S'il existe une fonction rationnelle définie sur les nombres réels, rationnels ou algébriques réels (généralement un sous-corps des nombres réels qui ne permet qu'un seul arrangement), alors c'est une somme de carrés de fonctions rationnelles :${\ style d'affichage f}$${\ displaystyle f = \ sum _ {i} {g_ {i}} ^ {2}}$

Albrecht Pfister a prouvé plus tard que les carrés sont suffisants pour les variables .${\ style d'affichage n}$${\ displaystyle 2 ^ {n}}$

• Albrecht Pfister : Le dix-septième problème de Hilbert et les problèmes connexes sur les formes définies . Dans : F. Browder : Développements mathématiques découlant des problèmes de Hilbert. AMS, Partie 2, 1976, pp. 507-524.
• N. Jacobson : Conférences sur l'algèbre abstraite . Volume 3, Van Nostrand 1964, nouvelle édition Graduate Texts in Mathematics, Springer (illustration de manuel des résultats d'Artin).
• H. Benis-Sinaceur : De D. Hilbert à E. Artin : Les différents aspects du dix-septième problème de Hilbert et les filiations conceptuelles de la théorie des corps réels clos . Arch. Exact Sci., volume 29, 1984, pages 267-286.

Le dix-huitième problème de Hilbert

La première partie du dix-huitième problème de Hilbert est la formulation mathématique d'une question de cristallographie . De nombreuses substances solides ont une structure cristalline au niveau atomique, qui peut être décrite mathématiquement avec des groupes de mouvements. Il a été possible de montrer très tôt qu'il existe des groupes de chambres très différents au niveau 17 et à la salle 230. Ludwig Bieberbach a enfin pu montrer en 1910 que ce nombre est toujours fini même dans les dimensions supérieures ( théorèmes de Bieberbach ).

Dans la deuxième partie du problème, Hilbert demande s'il existe des polyèdres dans l'espace tridimensionnel qui n'apparaissent pas comme l' aire fondamentale d' un groupe de mouvement, mais avec lesquels tout l'espace peut encore être carrelé sans lacunes. Karl Reinhardt a pu montrer que c'est le cas pour la première fois en 1928 en donnant un exemple. La zone est une zone de recherche active ( par exemple les quasicristaux selon Roger Penrose , le carrelage fractal auto-similaire de William Thurston).

Enfin, Hilbert s'enquiert de la manière la plus peu encombrante de disposer les sphères dans la pièce. Déjà en 1611, Johannes Kepler avançait l'hypothèse que le garnissage cubique à faces centrées et le garnissage hexagonal sont optimaux. Cette affirmation, également connue sous le nom de conjecture de Kepler , s'est avérée extrêmement difficile à prouver, bien que sans surprise. Ce n'est qu'en 1998 que Thomas Hales a publié une preuve assistée par ordinateur qui a maintenant (2010) été vérifiée et approuvée. L'emballage le plus proche des sphères dans des dimensions supérieures est toujours un domaine de recherche actif.

• John Milnor : Problème de Hilbert 18 : Sur les groupes cristallographiques, les domaines fondamentaux et le tassement des sphères . Dans : F. Browder : Développements mathématiques découlant des problèmes de Hilbert . AMS, Partie 2, 1976, pp. 491-506.

Le dix-neuvième problème de Hilbert

Hilbert a trouvé remarquable qu'il existe des équations aux dérivées partielles (telles que l' équation de Laplace ou l' équation de surface minimale ) qui ne permettent que des solutions analytiques, c'est-à-dire celles qui peuvent être représentées localement par des séries entières . Selon Hilbert, ils sont tous liés à des problèmes de variation (en tant que solutions des équations d'Euler-Lagrange associées ) qui satisfont à certaines conditions de régularité. Hilbert a ensuite formulé le problème comme un problème de régularité pour les équations aux dérivées partielles elliptiques avec des coefficients analytiques.

Dès 1903, Sergueï Bernstein a pu résoudre le problème en prouvant l'analyticité des solutions d'une certaine classe d'équations différentielles, qui comprennent également les équations en question, à condition que les dérivées troisièmes des solutions existent et soient limitées. Bernstein a traité des équations aux dérivées partielles elliptiques du second ordre à deux variables. Plus tard, entre autres, Léon Lichtenstein , Eberhard Hopf , Ivan Petrovsky et Charles Morrey ont pu généraliser le résultat. Une solution complète a ensuite été fournie par Ennio de Giorgi et John Forbes Nash dans les années 1950.

Il existe plusieurs généralisations du problème en relâchant les contraintes sur les fonctionnelles du problème de variation. A partir de la fin des années 1960, cependant, Vladimir Gilelewitsch Masja , Ennio de Giorgi et d'autres contre-exemples trouvés ici.

• Olga Oleinik : Sur le dix-neuvième problème de Hilbert . In : Pavel S. Alexandrov (éd.) : Les problèmes de Hilbert . Harri Deutsch, 1998, p. 275-278.

Le vingtième problème de Hilbert

Le vingtième problème est étroitement lié au dix-neuvième et est aussi directement lié à la physique. La motivation de Hilbert était sa préoccupation et son sauvetage du principe de Dirichlet (1904), la preuve de l'existence de la solution à un problème particulier de variation, que Bernhard Riemann a utilisé dans son travail sur la théorie des fonctions, mais qui a ensuite été discrédité par Karl Weierstrass critique . Le problème de variation a conduit à l'équation de Laplace, un cas particulier d'équations aux dérivées partielles elliptiques, qu'il a traité comme une solution aux problèmes de variation du 19ème problème. Ici, il pose des questions sur les conditions aux limites pour les solutions de l'équation aux dérivées partielles qui assurent l'existence d'une solution. Le problème s'est avéré extrêmement fructueux et il existe de nombreux résultats sur le sujet afin que le problème puisse être considéré comme résolu. Les premiers pas importants vers la solution sont venus à nouveau de Sergueï Bernstein vers 1910, de nouvelles avancées, entre autres, de Jean Leray (1939).

• David Gilbarg , Neil Trudinger : Équations aux dérivées partielles elliptiques du second ordre . Springer, 3e édition 1998.
• James Serrin : Le problème de Dirichlet pour les équations différentielles elliptiques quasi-linéaires avec de nombreuses variables indépendantes . Transactions philosophiques de la Royal Society A, Volume 264, 1969, pp. 413-496.
• James Serrin : La résolvabilité des problèmes de valeur aux limites . Dans : F. Browder : Développements mathématiques découlant des problèmes de Hilbert . AMS, Partie 2, 1976, pp. 507-524.
• Enrico Bombieri : Problèmes variationnels et équations elliptiques (problème de Hilbert 20) . Dans : F. Browder : Développements mathématiques découlant des problèmes de Hilbert . AMS, Partie 2, 1976, pp. 525-536.

Le vingt et unième problème de Hilbert

Les équations différentielles de Fuchs sont des équations différentielles linéaires homogènes d'ordre n dans le complexe (vu sur la sphère de Riemann , c'est-à-dire avec le point à l'infini ), dans lesquelles le comportement singulier des fonctions de coefficient est restreint d'une certaine manière. Il peut être représenté comme un système équivalent d' équations différentielles linéaires du premier ordre avec une matrice de fonctions à coefficients uniquement avec des pôles du premier ordre. Si on continue une solution donnée localement autour des k places singulières , on obtient une transformation du système fondamental des solutions en lui-même à travers une matrice n × n , la matrice de monodromie, en revenant au point de départ . Un morphisme de l' unité fondamentale de la groupe linéaire est obtenu . Le problème est : existe-t-il un tel système d'équations différentielles pour k places singulières données et un sous-groupe arbitraire d' une matrice monodrome ? ${\ displaystyle {\ chapeau {\ mathbb {C}}}}$${\ style d'affichage x_ {0}}$${\ style d'affichage n}$${\ displaystyle {\ frac {df_ {i} (z)} {dz}} = \ sum _ {j} A_ {ij} (z) f_ {j} (z)}$${\ style d'affichage A (z)}$${\ displaystyle x_ {i}}$${\ style d'affichage D}$ ${\ style d'affichage \ pi _ {1}}$${\ displaystyle {\ chapeau {\ mathbb {C}}} - \ {x_ {0}, \ cdots \ x_ {k} \}}$${\ displaystyle GL (n, \ mathbb {C})}$${\ displaystyle GL (n, \ mathbb {C})}$

Après que la question ait pu initialement recevoir une réponse positive pour certains cas particuliers (dont Hilbert lui-même traitant du problème et avant cela Poincaré et Ludwig Schlesinger ) et jusqu'aux années 1980 on pensait que Josip Plemelj avait déjà trouvé la solution en 1908 (dans un sens affirmatif ), en utilisant la théorie des équations intégrales de Fredholm, une faille a été trouvée dans sa preuve au début des années 1980. La démonstration de Plemelj ne s'applique pas à tous les systèmes fuchsiens, mais uniquement aux lieux singuliers dits réguliers (croissance polynomiale de la fonction autour des lieux singuliers), car Andrei Bolibruch a trouvé un contre-exemple en 1989. Mais Bolibruch a trouvé qu'il existe de telles équations différentielles si l'on considère les représentations irréductibles du groupe monodromique, et a classé tous les systèmes fuchsiens pour lesquels il existe une représentation monodromique pour n = 3.

Diverses généralisations au-delà des équations différentielles de Fuchs ont également été envisagées (par exemple par Helmut Röhrl ). Pour les points singuliers réguliers et les généralisations du concept d'équations différentielles linéaires ordinaires, Pierre Deligne a réussi à trouver une solution positive générale au problème.

• DV Anosov , AA Bolibruch : Aspects des mathématiques - Le problème de Riemann-Hilbert. Vieweg, Brunswick 1994, ISBN 3-528-06496-X .
• Helmut Röhrl : Sur le vingt et unième problème de Hilbert . In : Pavel S. Alexandrov (éd.) : Les problèmes de Hilbert . Harri Deutsch, 1998 (traite des développements jusqu'aux années 1960).

Le vingt-deuxième problème de Hilbert

C'est l'un des problèmes mathématiques les plus célèbres de l'époque, et de nombreuses recherches y ont été menées dans la seconde moitié du XIXe siècle et au début du XXe siècle. Le but de l' uniformisation est de paramétrer des courbes algébriques à deux variables, c'est-à-dire de remplacer les variables par des fonctions qui ne dépendent que d'une seule variable. Ainsi, par exemple, l'unité de cercle à travers est donnée, paramétrée par pour et chacun et utilise. L'ensemble d'uniformisation que nous recherchions était une généralisation du théorème de cartographie de Riemann sur des surfaces de Riemann compactes et pour sa solution, Felix Klein et Poincaré se sont affrontés à la fin du XIXe siècle, dont Poincaré est initialement sorti vainqueur. La preuve de Hilbert, cependant, ne le satisfaisait pas. ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$${\ style d'affichage x}$${\ style d'affichage y}$${\ style d'affichage \ cos \ alpha}$${\ displaystyle \ sin \ alpha}$

En 1907, Poincaré et indépendamment Paul Koebe ont finalement pu résoudre le problème - mais seulement pour le cas à deux variables. Si l'on généralise le problème à plus de deux variables, il reste des questions sans réponse dans le domaine (partie d'un programme de William Thurston ).

• Lipman Bers : Sur le vingt-deuxième problème de Hilbert . Dans : F. Browder : Développements mathématiques découlant des problèmes de Hilbert . AMS, Partie 2, 1976, pp. 559-609.

Le vingt-troisième problème de Hilbert

Le calcul des variations est, selon les termes de Hilbert, « la doctrine de la variation des fonctions » et était d'une importance particulière dans sa conception. C'est pourquoi il ne formule plus de problème spécifique dans la dernière partie de sa conférence, mais appelle au développement ultérieur de ce domaine en général. Avec le développement et l'expansion considérable de l'analyse fonctionnelle , la préoccupation de Hilbert a été prise en compte au 20ème siècle, également dans le domaine des applications (par exemple la théorie des commandes optimales ). Les propres travaux ultérieurs de Hilbert sur le principe de Dirichlet se situent au début de l'introduction des « méthodes directes » dans le calcul des variations. Des aperçus de l'évolution au 20e siècle proviennent, entre autres, de Stefan Hildebrandt et Guido Stampacchia .

"Le vingt-quatrième problème de Hilbert"

Le 24ème problème de Hilbert est un problème mathématique, dont la formulation a été trouvée dans la succession de Hilbert et qui est parfois mentionné comme un ajout à sa liste de 23 problèmes mathématiques. Hilbert pose la question des critères ou des preuves pour savoir si une preuve est la plus simple pour un problème mathématique.

Littérature

• David Hilbert : Problèmes mathématiques . Dans : Actualités de la Société Royale des Sciences de Göttingen, cours mathématique-physique. Numéro 3, 1900, pp. 253-297, ISSN  0369-6650 .
• David Hilbert : Sur les problèmes futurs des mathématiques . Compte Rendu du deuxième congrès international des mathématiciens, Paris, Gauthier-Villars, 1902, pp. 58-114 (traduction française par Léonce Laugel).
• David Hilbert : Problèmes mathématiques . Bulletin de l'American Mathematical Society, Volume 8, 1901, pp. 437-479 (traduction anglaise par Mary Newson).
• David Hilbert : Problèmes mathématiques . Archives de mathématiques et de physique, 3e série, volume 1, 1901, pp. 44-63, pp. 213-237.
• David Hilbert : Conférence « Problèmes mathématiques ». Tenue au 2e Congrès international des mathématiciens Paris 1900. In : Collectif d'auteurs sous la direction de Pavel S. Aleksandrov : Les problèmes de Hilbert (= Les classiques des sciences exactes d'Ostwald. Vol. 252). 4e édition, réimpression de la 3e édition inchangée. Allemand, Thoune et autres 1998, ISBN 3-8171-3401-0 .
• Collectif d'auteurs sous la direction de Pavel S. Alexandrov : Die Hilbertschen Problems (= Ostwald's classic of exacte sciences. Vol. 252). 4e édition, réimpression de la 3e édition inchangée. Allemand, Thoune et autres 1998, ISBN 3-8171-3401-0 .
  • Contributions de AG Vitushkin (13e problème), Evgeni Grigoryevich Skljarenko (EG Skljarenko, 5e problème), Boris Wladimirowitsch Gnedenko (6e problème), Alexander Ossipowitsch Gelfond (7e problème), Alexander Jessenin-Wolpin (1er et 2e problème) Problème), Wladimir Grigoryevich Boltjanski (3ème problème), Isaak Moissejewitsch Jaglom (4ème problème), Juri Linnik (8ème problème), DK Fadeev (9ème problème), Juri I. Chmelevskij (10ème problème), Yuri Manin (problème 11, 12, 14, 15, 17), Olga Oleinik (problème 16, 19), Boris Nikolajewitsch Delone (problème 18), Alexander Grigorjewitsch Sigalow (AG Sigalov (1913-1969), problème 19, 20), Helmut Röhrl (problème 21), Lev Ernestovich Elsgolc (problème 23), Boris Wladimirowitsch Schabat (1917-1987, Problème 22), l'état de la discussion est dans de nombreux cas à la fin des années 1960 (la première édition est parue en 1971) avec quelques ajouts par les éditeurs allemands par exemple pour résoudre le dixième problème.
• Felix E. Browder (Ed.) : Développements mathématiques découlant des problèmes de Hilbert (= Actes de colloques en mathématiques pures. Vol. 28). 2 tomes. Société mathématique américaine, Providence RI 1976, ISBN 0-8218-9315-7 .
• Ivor Grattan-Guinness : Un regard de côté sur les vingt-trois problèmes de Hilbert en 1900 . Avis AMS, août 2000 (en ligne ).
• Jeremy J. Gray : Le défi Hilbert. Oxford University Press, Oxford et al. 2000, ISBN 0-19-850651-1 .
• Jean-Michel Kantor : Les problèmes de Hilberts et leurs suites . Mathematical Intelligencer, Volume 18, 1996, Numéro 1, pp. 21-30.
• Rüdiger Thiele : Hilbert et ses vingt-quatre problèmes. Dans : Glen van Brummelen, Michael Kinyon (Eds.) : Mathematics and the Historians Craft. Les conférences Kenneth O. May (= CMS Books in Mathematics. Vol. 21). Springer, New York NY 2005, ISBN 0-387-25284-3 , pp. 243-296.
• Benjamin H. Yandell : La classe d'honneur. Les problèmes de Hilbert et leurs solveurs. AK Peters, Natick MA 2001, ISBN 1-56881-141-1 .

Voir également

• Problèmes non résolus en mathématiques

liens web

• Problèmes mathématiques - sources, textes, ouvrages, traductions, médias sur Wikilivres (également appelé Bibliowiki )
• Site Web de David Joyce sur les problèmes de Hilbert avec les liens
• Les problèmes de Hilbert dans le lexique des mathématiques sur Spektrum.de

Preuve individuelle

1. ^ Ina Kersten : Les problèmes mathématiques de Hilbert. ( Memento de l' original du 17 juillet 2009 dans Internet Archive ) Info : Le lien d' archive a été inséré automatiquement et n'a pas encore été vérifié. Veuillez vérifier le lien d'origine et d'archive conformément aux instructions , puis supprimez cet avis. Université de Bielefeld, 2000. @1@ 2Modèle : Webachiv / IABot / www.math.uni-bielefeld.de
2. ↑ David Hilbert : Problèmes mathématiques. Conférence donnée au congrès international des mathématiciens à Paris en 1900. ( Memento de l' original du 8 avril 2012 sur WebCite ) Info : Le lien d'archive a été inséré automatiquement et n'a pas encore été vérifié. Veuillez vérifier le lien d'origine et d'archive conformément aux instructions , puis supprimez cet avis. @1@ 2Modèle : Webachiv / IABot / www.mathematik.uni-bielefeld.de
3. ^ ^{Un b} D. Hilbert : Problèmes mathématiques. Conférence donnée au Congrès international des mathématiciens à Paris en 1900 . Dans : Nouvelles du Royal. Société des sciences de Göttingen. Cours de mathématiques-physique. Numéro 3, 1900, p. 253-297.
4. ↑ Constance Reid, Hilbert-Courant, Springer, 1986, p.73.
5. ↑ Hilbert : Problèmes mathématiques . Dans : L'enseignement mathématique . Volume 2, 1900, pp. 349-354 (en ligne ).
6. ↑ Dans les archives et aussi dans la version française du compte rendu du congrès publié en 1902, il mentionne, par exemple, le problème 14, les progrès qu'Adolf Hurwitz fit dans la théorie des invariants en 1897 (preuve générale de la finitude des invariants dans la groupe orthogonal).
7. ^ Rüdiger Thiele : le vingt-quatrième problème de Hilbert. (PDF; 197 Ko) Dans : American Mathematical Monthly. Volume 110, n° 1, janvier 2003, ISSN  0002-9890 , pp. 1-24.
8. ↑ Grattan Guinness, Notices AMS, août 2000, loc. cit.
9. ^ Charlotte Angas Scott : Le Congrès international des mathématiciens à Paris . Bulletin AMS, tome 7, 1900, p. 57-79. Elle a appelé (p. 68) la discussion qui a suivi décousues ( "demi-cœur").
10. ↑ Il s'est référé au tome 7, n° 1 de la Rivista di Matematica qu'il a édité.
11. ↑ Padoa : Un nouveau système irréductible de postulats pour l'algèbre . ICM 1900. Padoa est également allé au Problème n° 2 de M. David Hilbert . Dans : L'enseignement mathématique . Volume 5, 1903, pp. 85-91 directement à la conférence de Hilbert et son deuxième problème.
12. ↑ Hilbert ajoute ensuite une citation de Maurice d'Ocagne à la version imprimée aux Archives de mathématiques et de physique . Selon Grattan-Guinness : Un regard de côté sur les vingt-trois problèmes de Hilbert en 1900 . Avis AMS, août 2000.
13. ↑ Hilbert nota dans une lettre à Adolf Hurwitz du 25 août que la conférence n'était pas très forte ni en quantité ni en qualité et que Poincaré n'y assistait que par obéissance à ses devoirs et était absent du banquet final auquel il devait présider. Cité dans Grattan-Guinness, Notices AMS, août 2000, p. 757.
14. ^ Compte Rendu du deuxième congrès international des mathématiciens . Paris, Gauthier-Villars, 1902, p.24.
15. ^ Paul Cohen : La théorie des ensembles et l'hypothèse du continu . Benjamin 1963.
16. ↑ Dehn: A propos du volume . Mathematische Annalen, tome 55, 1901, pp. 465-478. Simplifié par WF Kagan : A propos de la transformation du polyèdre . Mathematische Annalen, Volume 57, 1903, pp. 421-424 et plus tard par Hugo Hadwiger , qui a étendu l'invariant de Dehn à des dimensions supérieures, et Wladimir Grigorjewitsch Boltjanski .
17. ^ Sydler, Comm. Math. Helv., volume 40, 1965, pages 43-80. Simplifié par Borge Jessen dans Jessen : L'algèbre des polyèdres et le théorème de Sydler . Math. Scand., volume 22, 1968, pp. 241-256.
18. ↑ Hilbert: A propos de la ligne droite la plus courte entre deux points . Mathematische Annalen, Volume 46, 1896, P. 91-96 (version numérisée, SUB Göttingen ), réimprimé dans Hilbert : Fundamentals of Geometry . Teubner, 2e édition 1903, page 83.
19. ↑ Hamel: A propos de la géométrie dans laquelle les lignes droites sont les plus courtes . Mathematische Annalen, Tome 57, 1903, pp. 231-264.
20. ^ IM Jaglom : Sur le quatrième problème de Hilbert . In : Pavel S. Alexandrov (éd.) : Les problèmes de Hilbert . Harri Deutsch, 1998.
21. ↑ Busemann, cité dans Yandell : The Honours Class . P.138.
22. ↑ Béla Kerékjártó a résolu le cas bidimensionnel en 1931, Montgomery en 1948 en trois, et Montgomery et Zippin en 1952 en quatre.
23. ↑ J. Hirschfeld : Le traitement non standard du cinquième problème de Hilbert . Trans.Amer. Math. Soc., volume 321, 1990, pages 379-400.
24. ↑ Serre, cité de Jeremy Gray : Les problèmes de Hilbert 1900-2000 . ( Memento de l' original du 12 juin 2007 dans Internet Archive ) Info : Le lien d' archive a été inséré automatiquement et n'a pas encore été vérifié. Veuillez vérifier le lien d'origine et d'archive conformément aux instructions , puis supprimez cet avis. @1@ 2Modèle : Webachiv / IABot / www.math.uni-bielefeld.de
25. ^ Leo Corry : Sur les origines du sixième problème de Hilbert : la physique et l'approche empiriste de l'axiomatisation . Congrès international des mathématiciens, 2006.
26. ↑ Matyasevich : le dixième problème de Hilbert . MIT Press 1993, page 16.
27. ^ Siegel : Sur la théorie des formes carrées . Messages Ges. Wiss. Göttingen, Math.-Naturwiss. Classe, 1972, n° 3, pp. 21-46.
28. ^ Encyclopédie des mathématiques : principes locaux-globaux pour l'anneau des entiers algébriques .
29. ^ Encyclopédie des mathématiques : formes quadratiques .
30. ↑ Vitushkin : À propos des variations dimensionnelles supérieures . Moscou 1955 (russe). Andrei Kolmogorov a donné une preuve plus simple la même année.
31. ^ Vitushkin : Sur le treizième problème de Hilbert . In : P. Alexandrov (Ed.) : Les problèmes de Hilbert . Harri Deutsch, 1998, p.211.
32. ↑ Stephen Ornes : le 13ème problème de Hilbert . Spectre, 11 février 2021.
33. ↑ Benson Farb, Jesse Wolfson : Degré de résolution, 13ème problème de Hilbert et géométrie . 2018 ( Arxiv ).
34. ^ Jesse Wolfson : transformations de Tschirnhaus après Hilbert . 2020 ( Arxiv ).
35. ↑ Wladimir Arnold: De Superpositions à KAM . Dans : Dynamiques Régulières et Chaotiques . Volume 19, 2014, pp. 734-744, premier en russe dans Wladimir Arnold: Selected - 60 . Moscou 1997.
36. ↑ Hilbert : A propos de la théorie des formes algébriques . Mathematische Annalen, Volume 36, 1890, pp. 473-534.
37. ^ O. Zariski : Interprétations algébrico-géométriques du quatorzieme probleme de Hilbert . Bulletin des Sciences Mathématiques, Tome 78, 1954, pp. 155-168.
38. ^ Nagata : Sur le quatorzième problème de Hilbert . Proc. ICM 1958. Nagata : Conférences sur le quatorzième problème de Hilbert . Institut de recherche fondamentale Tata, Bombay 1965.
39. ↑ Michael Kantor: problèmes et leurs suites de Hilbert . Mathematical Intelligencer, 1996, n° 1, page 25.
40. ^ Rokhlin : Congruences modulo seize dans le seizième problème de Hilbert . Analyse fonctionnelle et applications, volume 6, 1972, pp. 301-306, partie 2, volume 7, 1973, pp. 91-92.
41. ↑ Artin: Sur la décomposition des fonctions définies en carrés . Abh. Math. Seminar Hamburg, Volume 5, 1927, pp. 100-115.
42. ↑ Artin, Schreier : Construction algébrique des corps réels . Abh. Math. Seminar Hamburg, Volume 5, 1927, pp. 85-99.
43. ↑ Pfister: Pour représenter des fonctions définies comme la somme des carrés . Inventiones Mathematicae, Volume 4, 1967, pp. 229-237.
44. ↑ Nicholas Katz : Un aperçu des travaux de Deligne sur vingt et unième problème de Hilbert . Dans : F. Browder : Développements mathématiques découlant des problèmes de Hilbert . AMS, Partie 2, 1976, pp. 537-585.
45. ^ Deligne: Equations différentielles à points singuliers regulières . Notes de cours en mathématiques, Springer 1970.
46. ↑ Josef Bemelmans, Stefan Hildebrandt, Wolfgang Wahl : Équations aux dérivées partielles et calcul des variations . Dans : Gerd Fischer et al. : Un siècle de mathématiques 1890-1990. Festschrift pour l'anniversaire du DMV, Vieweg 1990, pp. 149-230.
47. ^ Stampacchia : vingt-troisième problème de Hilbert : extensions du calcul des variations . Dans : F. Browder : Développements mathématiques découlant des problèmes de Hilbert . AMS, Partie 2, 1976, pp. 611-628.