Zone

Nom de famille

Surface
Surface
surface en coupe transversale

${\ style d'affichage A}$ (Région)

Dérivé de

Taille et système d'unités	unité	dimension
SI	m ²	L ²
cgs	cm ²	L ²
Planck	Surface de la planche	ħ · G · c ^-3

La somme des aires des trois chiffres sur un fond quadrillé est d'environ 15,57 carrés

La zone est une mesure de la taille d'une zone . Par surface, on entend des structures bidimensionnelles , c'est-à-dire celles dans lesquelles on peut se déplacer dans deux directions indépendantes. Cela inclut les figures habituelles de la géométrie plate telles que les rectangles , les polygones , les cercles , mais aussi les surfaces limites de corps tridimensionnels telles que les cubes , les sphères , les cylindres , etc. Ces surfaces sont suffisantes pour de nombreuses applications, des surfaces plus complexes peuvent souvent être composées d'entre eux ou approximés par eux .

La surface joue un rôle important en mathématiques, dans la définition de nombreuses grandeurs physiques, mais aussi dans la vie de tous les jours. Par exemple, la pression est définie comme la force par zone ou le moment magnétique d' une boucle conductrice comme le courant multiplié par la zone qui l' entoure . Les tailles des propriétés et des appartements peuvent être comparées en spécifiant leur superficie. La consommation de matière, par exemple de graines pour un champ ou de peinture pour peindre une zone, peut être estimée à l'aide de la zone.

L'aire est normalisée en ce sens que le carré unitaire , c'est-à-dire le carré de côté de longueur 1, a l'aire 1 ; Exprimé en unités de mesure , un carré de 1 m de côté a une aire de 1 m ² . Afin de rendre les surfaces comparables en termes de surface, il faut exiger que les surfaces congruentes aient la même surface et que la surface des surfaces combinées soit la somme des contenus des surfaces partielles.

La hors mesure des surfaces ne se fait pas dans la règle. Au lieu de cela, certaines longueurs sont mesurées, à partir desquelles la zone est ensuite calculée. Pour mesurer l'aire d'un rectangle ou d'une surface sphérique, on mesure généralement la longueur des côtés du rectangle ou le diamètre de la sphère et obtient l'aire souhaitée au moyen de formules géométriques comme énumérées ci-dessous.

Aire de quelques figures géométriques

Le tableau suivant répertorie quelques figures de la géométrie plane ainsi que des formules pour calculer leur aire.

Figure / objet	Zone ${\ style d'affichage A}$	Désignations
carré	${\ displaystyle A = a ^ {2}}$
rectangle	${\ displaystyle A = a \ cdot b}$
Triangle	${\ displaystyle A = {\ frac {g \ cdot h} {2}}}$
trapèze	${\ displaystyle A = {\ frac {a + c} {2}} \ cdot h}$
Rhombe	${\ displaystyle A = {\ frac {d_ {1} \ cdot d_ {2}} {2}}}$
parallélogramme	${\ displaystyle A = a \ cdot h_ {a}}$
régul. hexagone	${\ displaystyle A = {\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {2}} a ^ {2}}$
cercle	${\ displaystyle A = \ pi r ^ {2} = {\ frac {\ pi} {4}} d ^ {2}}$
ellipse	${\ displaystyle A = \ pi de}$
intégral	${\ displaystyle A = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \ mathrm {d} x, \ f (x) \ geq 0}$
formule de Leibniz	${\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} \ int _ {a} ^ {b} (x (t) y ^ {\ prime} (t) -y (t) x ^ {\ prime} (t)) dt}$

Pour déterminer l'aire d'un polygone , vous pouvez le trianguler, c'est-à-dire le décomposer en triangles en faisant glisser des diagonales, puis déterminer l'aire des triangles et enfin ajouter ces aires partielles. Sont les coordonnées , les sommets du polygone dans un système de coordonnées cartésiennes sont connus, l'aire, avec la règle trapézoïdale gaussienne sont calculées : ${\ style d'affichage (x_ {i}, y_ {i})}$ ${\ displaystyle i = 1 \ dotsc n}$ ${\ style d'affichage n}$

{\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} (y_ {i} + y_ {i + 1}) (x_ {i} -x_ {i + 1})}

Ce qui suit s'applique aux indices : avec est et avec est signifié. La somme est positive si les points d'angle sont parcourus selon le sens de rotation du système de coordonnées . Le montant peut devoir être choisi en cas de résultats négatifs . Le théorème de Pick peut être utilisé en particulier pour les surfaces polygonales avec des points de grille comme coins . D'autres zones peuvent généralement être facilement approximées à l' aide de polygones , de sorte qu'une valeur approximative peut facilement être obtenue. ${\ displaystyle x_ {n + j}}$ ${\ displaystyle x_ {j}}$ ${\ displaystyle y_ {n + j}}$ ${\ displaystyle y_ {j}}$

Calcul de certaines surfaces

Voici quelques formules typiques pour le calcul des surfaces :

Figure / objet	surface ${\ style d'affichage A}$	Désignations
dé	${\ style d'affichage A = 6a ^ {2}}$
Cuboïde	${\ displaystyle A = 2 (ab + ac + bc)}$
Tétraèdre	${\ displaystyle A = {\ sqrt {3}} \, a ^ {2}}$
Sphère ( surface sphérique )	${\ displaystyle A = 4 \ pi r ^ {2} = \ pi d ^ {2}}$
cylindre	${\ displaystyle A = 2 \ pi r (r + h)}$
cône	${\ displaystyle A = \ pi r (r + {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}})}$
Torus	${\ displaystyle A = 4 \ pi ^ {2} \ cdot R \ cdot r}$
Surface de révolution	${\ displaystyle A = 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} \! f (x) {\ sqrt {1+ \ left [f '(x) \ right] ^ {2}}} \ mathrm { d} x}$ (Rotation autour de l'axe x)

Une procédure typique pour déterminer de telles surfaces est ce que l'on appelle le "roulement" ou "déroulement" dans le plan, c'est-à-dire que l'on essaie de cartographier la surface dans le plan de telle sorte que la surface soit conservée, puis détermine la zone des plans résultants Figure. Cependant, cela ne fonctionne pas avec toutes les surfaces, comme le montre l'exemple de la sphère. Pour déterminer de telles surfaces, les méthodes d' analyse utilisées dans l'exemple de la balle peuvent concerner l' utilisation de surfaces de rotation . Souvent, la première règle de Guldin conduit également à un succès rapide, par exemple avec le tore.

Calcul intégral

L'aire sous la courbe de a à b est approximée par des rectangles

Le calcul intégral a été développé, entre autres, pour déterminer des aires sous des courbes, c'est-à-dire sous des graphes de fonctions . L'idée est d'approximer la zone entre la courbe et l' axe par une série de rectangles étroits, puis de laisser la largeur de ces rectangles approcher de 0 dans un processus de frontière. La convergence de cette limite dépend de la courbe utilisée. Si l'on regarde une zone restreinte, par exemple la courbe sur un intervalle restreint comme sur le dessin ci-contre, des théorèmes d'analyse montrent que la continuité de la courbe est suffisante pour assurer la convergence du processus limite. Le phénomène se produit que les zones en dessous de l' axe deviennent négatives, ce qui peut être indésirable lors de la détermination des zones. Si vous voulez éviter cela, vous devez passer au montant de la fonction. ${\ style d'affichage x}$ ${\ style d'affichage [a, b]}$ ${\ style d'affichage x}$

courbe en cloche de Gauss

Si vous voulez les limites d'intervalle et le permettez, nous avons d'abord déterminé les zones pour les limites finies et comme nous venons de le décrire, puis nous partons dans un autre processus de limite , ou recherchons les deux. Ici il peut arriver que ce processus limite ne converge pas, par exemple dans le cas de fonctions oscillantes comme la fonction sinus . Si vous vous limitez aux fonctions qui ont leurs graphes de fonctions dans le demi-plan supérieur, ces effets d'oscillation ne peuvent plus se produire, mais il arrive que l'aire entre la courbe et l' axe devienne infinie. Étant donné que la surface totale a une étendue infinie, il s'agit même d'un résultat plausible et finalement également attendu. Si, cependant, la courbe se rapproche suffisamment rapidement de l' axe - pour des points éloignés de 0 , le phénomène peut se produire qu'une aire infiniment étendue a aussi une aire finie. Un exemple bien connu qui est important pour la théorie des probabilités est l'aire entre la courbe en cloche de Gauss ${\ displaystyle - \ infty}$ ${\ displaystyle + \ infty}$ ${\ style d'affichage a}$ ${\ style d'affichage b}$ ${\ displaystyle a \ to - \ infty}$ ${\ displaystyle b \ à + \ infty}$ ${\ style d'affichage x}$ ${\ style d'affichage x}$

{\ displaystyle f (x) = {\ tfrac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ cdot \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {1} {2}} x ^ {2}} }

et l' axe. Bien que l'aire soit de à , l'aire est égale à 1. ${\ style d'affichage x}$ ${\ displaystyle - \ infty}$ ${\ displaystyle + \ infty}$

Lorsqu'on essaie de calculer des aires supplémentaires, par exemple également sous des courbes discontinues, on se pose finalement la question de savoir quelles quantités dans le plan devraient se voir attribuer une aire significative. Cette question s'avère difficile, comme le souligne l'article sur le problème de la dimension . Il s'avère que le concept intuitif d'aire utilisé ici ne peut pas être étendu de manière significative à tous les sous-ensembles du plan.

Géométrie différentielle

En géométrie différentielle , l'aire d'une surface plane ou courbe est calculée en utilisant les coordonnées comme intégrale d' aire : ${\ style d'affichage F}$ ${\ style d'affichage (u, v)}$

{\ displaystyle \ iint _ {F} \ mathrm {d} \ sigma}

L'élément area correspond à la largeur de l'intervalle dans le calcul intégral unidimensionnel . Il y a l'aire du par les tangentes aux lignes de coordonnées étendues parallélogramme avec les côtés et sur. L'élément de surface dépend du système de coordonnées et de la courbure de Gauss de la surface. ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ sigma}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} x}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} u}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} v}$

L'élément area est en coordonnées cartésiennes . Sur la surface sphérique avec le rayon et la longueur et la largeur comme paramètres de coordonnées s'appliquent . Pour la surface d'une sphère ( ) on obtient l'aire : ${\ style d'affichage (x, y)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ sigma = \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y}$ ${\ style d'affichage r}$ ${\ style d'affichage L}$ ${\ style d'affichage B}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ sigma = r ^ {2} \ cos B \, \ mathrm {d} B \, \ mathrm {d} L}$ ${\ displaystyle - \ pi / 2 \ leq B \ leq \ pi / 2, - \ pi \ leq L \ leq \ pi}$

{\ displaystyle A = r ^ {2} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ int _ {- \ pi / 2} ^ {\ pi / 2} \ cos B \, \ mathrm {d} B \, \ mathrm {d} L = r ^ {2} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ left [\ sin B \ right] _ {- \ pi / 2} ^ {\ pi / 2} \, \ mathrm {d} L = 2r ^ {2} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ mathrm {d} L = 4 \ pi r ^ {2}}

Pour calculer l'élément aire, il n'est pas absolument nécessaire de connaître la position d'une aire spatiale dans l'espace. L'élément de surface ne peut être dérivé que de ces dimensions qui peuvent être mesurées à l'intérieur de la surface, et compte donc pour la géométrie interne de la surface. C'est aussi la raison pour laquelle l'aire d'une surface (développable) ne change pas lorsqu'elle est développée et peut donc être déterminée en développant un plan.

Les surfaces en physique

Naturellement, les surfaces apparaissent aussi comme une grandeur à mesurer en physique. Les superficies sont généralement mesurées indirectement à l'aide des formules ci-dessus. Les tailles typiques auxquelles les surfaces apparaissent sont :

Pression = force par zone
Intensité = énergie par temps et surface
Moment magnétique d' une boucle conductrice = courant multiplié par la surface couverte
Tension superficielle = travail effectué pour agrandir la surface par surface supplémentaire
Densité de charge de surface = charge par surface
Densité de courant = courant par zone de passage

L'aire comme vecteur

Souvent, la surface est également affectée d'une direction qui est perpendiculaire à la surface, ce qui fait de la surface un vecteur et lui donne une orientation en raison des deux choix possibles de la direction perpendiculaire . La longueur du vecteur est une mesure de l'aire. Dans le cas d'un parallélogramme borné par les vecteurs et , c'est le produit vectoriel ${\ displaystyle {\ vec {a}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {b}}}$

{\ displaystyle {\ vec {a}} \ fois {\ vec {b}}}

.

S'il y a des surfaces, le champ vectoriel normal est généralement utilisé afin de pouvoir leur assigner une direction localement en chaque point. Cela conduit à des quantités de flux qui sont définies comme le produit scalaire du champ vectoriel et de l'aire (en tant que vecteur). Le courant est calculé à partir de la densité de courant selon ${\ style d'affichage I}$ ${\ displaystyle {\ vec {J}}}$

{\ displaystyle I = \ int \limits _ {A} {\ vec {J}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {A}}}

,

où dans l'intégrale le produit scalaire

{\ displaystyle {\ vec {J}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {A}}}

est formé. Pour l'évaluation de telles intégrales, les formules de calcul des surfaces sont utiles.

En physique, il existe également des tailles de zones qui sont en fait déterminées expérimentalement, telles que les sections efficaces de diffusion . Ceci est basé sur l'idée qu'un flux de particules frappe un objet cible solide, la soi-disant cible, et que les particules du flux de particules frappent les particules de la cible avec une certaine probabilité. Le comportement de diffusion mesuré macroscopiquement permet ensuite de tirer des conclusions sur les sections transversales que les particules cibles maintiennent contre les particules d'écoulement. La taille ainsi déterminée a la dimension d'une zone. Étant donné que le comportement de diffusion dépend non seulement des paramètres géométriques, mais aussi d'autres interactions entre les partenaires de diffusion, la zone mesurée ne peut pas toujours être assimilée directement à la section transversale géométrique des partenaires de diffusion. On parle alors plus généralement de section 40 , qui a également la dimension d'une aire.

Calcul de surface en arpentage

En règle générale, la superficie des terres, des parties de terres, des pays ou d'autres zones ne peut pas être déterminée à l'aide des formules des figures géométriques simples. De telles zones peuvent être calculées graphiquement, semi-graphiquement, à partir des dimensions du terrain ou à partir des coordonnées.

Une cartographie de la zone doit être disponible pour le processus graphique. Les zones dont les limites sont formées par un polygone peuvent être décomposées en triangles ou trapèzes dont les lignes de base et les hauteurs sont mesurées. L'aire des aires partielles et enfin l'aire de la superficie totale sont alors calculées à partir de ces mesures. Le calcul d'aire semi-graphique est utilisé lorsque l'aire peut être décomposée en triangles étroits dont la base courte a été mesurée avec précision sur le terrain. Étant donné que l' erreur relative de la zone est principalement déterminée par l'erreur relative du côté de base court, mesurer le côté de base sur le terrain plutôt que sur la carte augmente la précision de la zone par rapport à la méthode purement graphique.

Les surfaces irrégulières peuvent être enregistrées à l'aide d'un panneau de verre carré. Celui-ci a une grille de carrés sur la face inférieure, dont la longueur de côté est connue (par exemple 1 millimètre). Le plateau est placé sur la zone cartographiée et la zone est déterminée en comptant les carrés qui se trouvent dans la zone.

Une harpe planimétrique peut être utilisée pour les surfaces allongées. Il s'agit d'une feuille de papier avec des lignes parallèles dont l'espacement uniforme est connu. La harpe planimétrique est placée sur la surface de telle sorte que les lignes soient approximativement perpendiculaires à la direction longitudinale de la surface. Cela divise la zone en trapèzes, dont les lignes médianes sont ajoutées avec une paire de diviseurs. L'aire peut être calculée à partir de la somme des longueurs des lignes médianes et de l'espacement des lignes.

Planimètre polaire, à droite le stylo moteur avec loupe, à gauche le rouleau avec compteur, en haut la perche fixée lors de la mesure

Le planimètre , instrument d' intégration mécanique , est particulièrement adapté pour déterminer la surface des zones à bordure curviligne . La limite doit être franchie avec la plume motrice du planimètre. Lors de la conduite autour de la zone, un rouleau tourne et la rotation du rouleau et la taille de la zone peuvent être lues sur un compteur mécanique ou électronique. La précision dépend de la précision avec laquelle l'opérateur parcourt le bord de la zone avec le stylet de conduite. Plus la circonférence est petite par rapport à la zone, plus le résultat est précis.

Le calcul de l'aire à partir des dimensions du terrain peut être utilisé si l'aire peut être décomposée en triangles et trapèzes et si les distances requises pour le calcul de l'aire sont mesurées sur le terrain. Si les points d'angle de la surface ont été inclinés sur une ligne de mesure à l'aide de la méthode orthogonale , la surface peut également être calculée à l'aide de la formule trapézoïdale gaussienne .

Aujourd'hui, les surfaces sont souvent calculées à partir de coordonnées. Il peut s'agir par exemple des coordonnées de points limites dans le cadastre immobilier ou de points d'angle d'une zone dans un système d'information géographique . Souvent, les points d'angle sont reliés par des lignes droites, parfois aussi par des arcs. Par conséquent, l'aire peut être calculée à l'aide de la formule trapézoïdale gaussienne. Dans le cas d'arcs de cercle, les segments de cercle entre le côté du polygone et l'arc de cercle doivent être pris en compte. Si le contenu d'une zone plus irrégulière doit être déterminé dans un système d'information géographique, la zone peut être approximée par un polygone avec des côtés courts.

Voir également

Ordre de grandeur (surface)

Preuve individuelle

↑ Heribert Kahmen : Arpentage I . Walter de Gruyter, Berlin 1988.

liens web

Wiktionnaire : aire - explications de sens, origines des mots, synonymes, traductions

Conversion : Câble rond, fil et ligne - diamètre en section circulaire et section en diamètre
Eric W. Weisstein : Région . Dans : MathWorld (anglais).

[1] Heribert Kahmen : Arpentage I . Walter de Gruyter, Berlin 1988.

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