Philosophie des mathématiques

La philosophie des mathématiques est un domaine de la philosophie théorique qui cherche à comprendre et à expliquer les prémisses, le sujet, la méthode et la nature des mathématiques .

point de départ

Les questions de

  1. la manière d'être des objets mathématiques : existent-ils « réellement » et indépendamment d'un usage spécifique, et si oui, dans quel sens ? Que signifie même se référer à un objet mathématique ? Quel est le caractère des théorèmes mathématiques ? Quelles sont les relations entre la logique et les mathématiques ? - Ce sont des questions ontologiques .
  2. l'origine de la connaissance mathématique : quelle est la source et l'essence de la vérité mathématique ? Quelles sont les conditions de la science mathématique ? Quelles sont en principe vos méthodes de recherche ? Quel rôle joue la nature humaine dans tout cela ? - Ce sont des questions épistémologiques .
  3. la relation entre les mathématiques et la réalité : quelle est la relation entre le monde abstrait des mathématiques et l'univers matériel ? Les mathématiques sont-elles ancrées dans l' expérience , et si oui, comment ? Comment se fait-il que les mathématiques « s'adaptent si admirablement aux objets de la réalité » ( Albert Einstein ) ? De quelle manière des concepts tels que nombre , point et infini acquièrent- ils une signification qui s'étend au-delà du domaine mathématique interne ?

Le point de départ est presque toujours l'idée que les propositions mathématiques sont apodictiquement certaines, intemporelles et exactes et que leur exactitude ne dépend pas de résultats empiriques ou de vues personnelles . Il s'agit de déterminer les conditions de possibilité d'une telle connaissance, ainsi que de questionner ce point de départ.

Réalisme, Platonisme, Matérialisme

Une position répandue parmi les mathématiciens est le réalisme , représenté entre autres. par Kurt Gödel et Paul Erdős . Les objets mathématiques (nombres, figures géométriques , structures) et les lois ne sont pas des concepts qui surgissent dans la tête du mathématicien, mais se voient attribuer une existence indépendante de la pensée humaine , comme le souligne Friedrich Engels dans Anti-Dühring . Les mathématiques ne sont donc pas inventées , mais découvertes. Cette conception correspond au caractère objectif, c'est-à - dire interpersonnel, des mathématiques. Ce réalisme ontologique est la philosophie matérialiste .

La forme classique du réalisme est le platonisme , selon lequel les objets et propositions mathématiques existent séparément du monde matériel et indépendamment de l'espace et du temps, avec d'autres idées telles que le « bon », le « beau » ou le « divin ». Le principal problème du platonisme dans la philosophie des mathématiques est la question de savoir comment nous, en tant qu'êtres limités, pouvons reconnaître les objets et les vérités mathématiques lorsqu'ils sont chez eux dans ce « paradis des idées ». Selon Gödel, cela est réalisé grâce à une intuition mathématique qui, semblable à un organe des sens , nous permet, à nous humains, de percevoir des parties de cet autre monde. De telles intuitions rationnelles sont également utilisées par la plupart des classiques du rationalisme et dans les débats plus récents sur la justification ou la connaissance a priori, entre autres. défendu par Laurence Bonjour .

Aristote couvre sa philosophie des mathématiques dans les livres XIII et XIV de la métaphysique . Ici et en de nombreux endroits, il critique le platonisme .

Logicisme

Le logicisme fut, entre autres, fondé par Gottlob Frege , Bertrand Russell et Rudolf Carnap . Il a poursuivi un programme visant à réduire complètement les mathématiques à la logique formelle et, par conséquent, à les comprendre comme faisant partie de la logique . Les logiciens considèrent que la connaissance mathématique est valable a priori . Les concepts mathématiques sont dérivés ou construits à partir de concepts logiques, les propositions mathématiques découlent directement des axiomes de la logique pure.

Gottlob Frege , qui est considéré comme l'un des grands penseurs du 20e siècle, a fait remonter la structure juridique du calcul numérique aux principes logiques dans ses lois fondamentales de l'arithmétique . La construction de Frege s'est avérée fragile avant sa publication complète, après que Russell a montré avec sa célèbre antinomie que des contradictions dans la mathématique de Frege peuvent être déduites. Russell en a informé Frege dans une lettre, après quoi il est tombé dans une profonde crise personnelle. Plus tard, les contradictions pourraient être évitées avec des systèmes d'axiomes plus compliqués, de sorte que la théorie des ensembles et surtout la théorie des nombres naturels pourraient être justifiées sans contradiction. Cependant, ces axiomes ne pouvaient se justifier purement logiquement au sens des lois fondamentales de Frege.

La principale critique du logicisme est qu'il ne résout pas les problèmes de base des mathématiques, mais le pousse seulement aux problèmes de base de la logique et n'apporte donc aucune réponse satisfaisante.

Formalisme, déductivisme

Le formalisme fait référence aux mathématiques similaires à un jeu basé sur un certain ensemble de règles, avec les chaînes (engl. Strings) à manipuler. Par exemple, dans le jeu " Géométrie euclidienne ", le théorème de Pythagore est gagné en combinant certaines chaînes de caractères (les axiomes ) avec certaines règles (celles du raisonnement logique) comme des blocs de construction. Les énoncés mathématiques perdent le caractère de vérités (par exemple à propos de figures géométriques ou de nombres), ce ne sont finalement plus des énoncés « sur quoi que ce soit ».

Une variante du formalisme est souvent appelée déductivisme . Par exemple, le théorème de Pythagore ne représente plus une vérité absolue, mais seulement par rapport vérité : Si on attribue des significations aux chaînes de caractères de telle sorte que les axiomes et les règles d'inférence sont vraies, alors il faut suivre les conclusions, par exemple B. considérer le théorème de Pythagore comme vrai. Vu sous cet angle, le formalisme ne doit pas rester un jeu symbolique dénué de sens. Au contraire, le mathématicien peut espérer qu'il existe une interprétation des séquences de caractères qui B. spécifier la physique ou d'autres sciences naturelles afin que les règles conduisent à des déclarations vraies. Un mathématicien déductiviste peut ainsi se dégager de la responsabilité des interprétations ainsi que des difficultés ontologiques des philosophes.

David Hilbert est considéré comme l'un des premiers représentants importants du formalisme. Il s'efforce d'obtenir une structure axiomatique cohérente de toutes les mathématiques, en choisissant à son tour l'arithmétique des nombres naturels comme point de départ, en supposant qu'il dispose d'un système complet et cohérent. Peu de temps après, Kurt Gödel a défié ce point de vue avec sa phrase d' incomplétude . Ainsi, pour chaque système d'axiomes qui inclut l'arithmétique des nombres naturels, il est prouvé qu'il est soit incomplet, soit se contredit.

structuralisme

Le structuralisme considère les mathématiques principalement comme une science qui traite des structures générales, d. H. avec les relations des éléments au sein d'un système. Pour illustrer cela, on peut considérer l'administration d'un club sportif comme un exemple de système. Les différentes fonctions (comme le conseil d'administration, le commissaire aux comptes, le trésorier, etc.) peuvent être distinguées des personnes qui assument ces tâches. Si vous ne regardez que le cadre des bureaux (et donc omettez les personnes spécifiques qui les remplissent), vous obtenez la structure générale d'une association. L'association elle-même avec les personnes qui ont repris les bureaux illustre cette structure.

De même, chaque système dont les éléments ont un successeur unique illustre la structure des nombres naturels ; Il en va de même pour les autres objets mathématiques. Puisque le structuralisme ne considère pas les objets tels que les nombres détachés de leur totalité ou de leur structure, mais les voit plutôt comme des lieux dans une structure, il élude la question de l'existence des objets mathématiques ou les clarifie comme des erreurs de catégorie . Par exemple, deux en tant que nombre naturel ne peut plus être considéré séparément de la structure des nombres naturels, mais plutôt un identifiant pour la deuxième place dans la structure des nombres naturels, il n'a ni propriétés internes ni structure propre. En conséquence, il existe des variantes du structuralisme qui acceptent les objets mathématiques comme existants, ainsi que ceux qui rejettent leur existence.

Des problèmes se posent avec ce courant notamment à partir de la question des propriétés et de la nature des structures. Comme dans le différend sur l' universalité , les structures sont évidemment quelque chose qui peut s'appliquer à de nombreux systèmes en même temps. La structure d'une équipe de football est certainement illustrée par des milliers d'équipes . La question se pose de savoir si et comment les structures existent, si elles existent indépendamment des systèmes. D'autres questions ouvertes concernent l'accès aux structures, par ex. B : Comment pouvons-nous en savoir plus sur les structures ?

Les représentants actuels du structuralisme sont Stewart Shapiro , Michael Resnik et Geoffrey Hellman .

Autres théories

L' intuitionnisme fondé par Luitzen Brouwer nie l'existence de concepts mathématiques en dehors de l'esprit humain, utilise donc des preuves constructives et non celles qui font des déclarations sur l'existence sans spécifier une construction, c'est pourquoi la proposition du tiers exclu n'est pas utilisée dans l'intuitionniste. logique formelle utilisée. Une généralisation de l'intuitionnisme est le constructivisme .

Le Conventionnalisme a été développé par Henri Poincaré et en partie par les Empiristes logiques ( Rudolf Carnap , A. J. Ayer , Carl Hempel développé).

Partant du point de vue du mathématicien et en s'appuyant en même temps sur la critique épistémologique d' Emmanuel Kant , se pose la question de la constitution catégorielle de l'être humain, dont peuvent dériver les disciplines mathématiques (cf. Ernst Kleinert ).

Des questions relatives à la philosophie des mathématiques sont également présentées dans la littérature scientifique populaire. Donc entre autres par John D. Barrow et Roger Penrose expliquent pourquoi les mathématiques sont utiles en premier lieu et pourquoi elles s'intègrent si bien dans le monde.

Voir également

Preuve individuelle

  1. ^ Karl Marx / Friedrich Engels - Travaux. (Karl) Dietz Verlag, Berlin. Tome 20. Berlin / RDA. 1962. "Le bouleversement de Herr Eugen Dlassung dans la science", III. Classification. A priori
  2. ↑ mlwerke.de
  3. ↑ Cf. In Defence of Pure Reason, A Rationalist Account of A Priori Justification, 1998, ISBN 978-0-521-59236-9 et en référence directe à la philosophie des mathématiques, par exemple, Hartry Field: Recent Debates About the A Priori ( Memento des Originals du 3 septembre 2006 dans Internet Archive ) Info : Le lien d' archive a été inséré automatiquement et n'a pas encore été vérifié. Veuillez vérifier le lien d'origine et d'archive conformément aux instructions , puis supprimez cet avis. (avec d'autres documents ; PDF ; 128 ko). @1@ 2Modèle : Webachiv / IABot / as.nyu.edu
  4. ↑ Stewart Shapiro, « Penser aux mathématiques », Oxford 2000, p. 263

Littérature

Notes d'introduction pour les laïcs
Littérature spécialisée
Plus spécial
  • Hermann Weyl : Philosophie des mathématiques et des sciences naturelles , 6e édition, Oldenbourg Verlag 1990 (English Princeton University Press 1949) (extrait du manuel de philosophie 1927).
  • Eugene Wigner : L'efficacité déraisonnable des mathématiques dans les sciences naturelles , dans : Communications on Pure and Applied Mathematics, vol. 13, non. I (1960), doi : 10.1002 / cpa.3160130102 .
  • Christian Thiel : Philosophie et mathématiques : une introduction à leurs interactions et à la philosophie des mathématiques , Darmstadt : Wissenschaftliche Buchgesellschaft, 1995
  • John R. Lucas : Les racines conceptuelles des mathématiques . Routledge Londres / New York (2000). ISBN 0-415-20738-X .
  • Saunders Mac Lane : Mathématiques : forme et fonction . Springer, New York (1986). ISBN 0-387-96217-4 .

liens web