Albert Thoralf Skolem

Albert Thoralf Skolem (années 1930)

Albert Thoralf Skolem (né le 23 mai 1887 à Sandsvaer , † le 23 mars 1963 à Oslo ) était un mathématicien , logicien et philosophe norvégien .

Ses travaux ont fourni des résultats fondamentaux en logique mathématique , en particulier dans les domaines de la théorie des modèles et de la calculabilité . Mais il a également apporté d' importantes contributions à la recherche mathématique de base telles que la logique des prédicats , la logique de classe , la théorie de la récursivité , la théorie des ensembles et les fondements de l' arithmétique , ainsi que dans l' algèbre et la théorie des nombres .

Biographie

Skolem était le fils d'un enseignant et a étudié à Kristiania à partir de 1905 (appelé Oslo à partir de 1925). À partir de 1909, il travaille pour le physicien Kristian Birkeland (connu pour ses études sur les aurores boréales), avec qui il entreprend également une expédition au Soudan en 1913 . La thèse de Skolem Undersøkelserinnenfor logikkens algebra (Études sur l'algèbre de la logique) a reçu beaucoup d'attention et a même été rapportée au roi de Norvège. En 1915, il se rend à Göttingen, où il étudie pendant le semestre d'hiver. En 1916, il retourna à Kristiania et occupa un poste de chercheur à l'université sous Axel Thue , où il accepta d' abord avec Viggo Brun , qui y travaillait également , de ne pas travailler en vue d'un doctorat. En 1918, Skolem devint professeur de mathématiques à Kristiania et la même année devint membre de l' Académie norvégienne des sciences .

En 1926, Skolem soumit une thèse ( Quelques théorèmes sur les solutions entières de certaines équations et inégalités ) sur la théorie des nombres (en fait, lui et son ami Viggo Brun avaient décidé d'y renoncer parce qu'ils ne la considéraient pas nécessaire en Norvège). Son directeur de doctorat actuel, le célèbre théoricien des nombres Axel Thue , était décédé il y a quatre ans.

En 1927, Skolem épousa Edith Wilhelmine Hasvold et continua à travailler à l'Université d'Oslo jusqu'à ce qu'il se rende à Bergen avec sa femme en 1930 pour travailler comme chercheur à l'Institut Christian Michelsen. Il y travaille jusqu'en 1938, date à laquelle il accepte un appel à Oslo et y occupe une chaire de mathématiques, qu'il occupe jusqu'à sa retraite en 1957. Il n'a donné qu'occasionnellement des conférences sur son domaine actuel de la logique mathématique et n'a pas créé d'école en Norvège. Comme il a principalement publié dans des magazines norvégiens, certaines de ses découvertes sont passées inaperçues jusqu'à ce que d'autres les redécouvrent. Par exemple, il a écrit un essai sur la théorie des associations dès 1912 et a caractérisé les automorphismes des algèbres simples en 1927, qui a ensuite été redécouvert par Emmy Noether (théorème de Skolem-Noether). Skolem est resté scientifiquement actif jusqu'à sa mort.

En 1954, Skolem est fait chevalier par le roi de Norvège. En 1962, il a reçu la médaille Gunnerus de la Société royale norvégienne des sciences. Il a été président de la Norwegian Mathematical Society et rédacteur en chef de Norsk Matematisk Tidsskrift et Mathematica Scandinavica . En 1936, il fut conférencier invité au Congrès international des mathématiciens à Oslo ( Un commentaire sur le problème de la décision ) et en 1950 à Cambridge (Massachusetts) (Remarques sur le fondement de la théorie des ensembles). En 1962, il donne une conférence à l'ICM de Stockholm ( Un théorème sur les ensembles récursivement énumérables ).

Ses doctorants incluent Øystein Ore et Wilhelm Ljunggren .

plante

Au moyen de la forme normale de la logique des prédicats ( forme de Skolem ) qui porte son nom, il a donné une preuve claire en 1920 pour le théorème de Löwenheim (1915) que chaque expression satisfiable du calcul des prédicats du premier ordre peut être satisfaite dans une plage au plus dénombrable, de sorte que ce théorème est aujourd'hui le théorème de von Löwenheim et Skolem est mentionné. Skolem a également souligné en 1922 les conséquences apparemment paradoxales de ce théorème dans la théorie des ensembles axiomatique (" Skolem Paradox ").

En 1929, il a donné la première formalisation précise de la logique des prédicats de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel . Skolem a conclu l'axiomatisation de la théorie des ensembles en utilisant la formalisation pour donner à l' axiome de compréhension sa version habituelle aujourd'hui. Le terme couramment utilisé aujourd'hui, la fonction récursive primitive , remonte à Skolem (1923).

Il a montré que l'arithmétique de Peano ne peut pas être finalement axiomatisée. Skolem a également apporté un certain nombre de contributions au problème de décision . Il a fait la première tentative de construire une théorie des ensembles axiomatique avec un axiome de compréhension illimitée sur la base d'une logique multi-valuée .

En 1933, il a construit un modèle arithmétique non standard .

Dans les années 1930, il a développé une méthode p-adique pour résoudre une grande classe d' équations diophantiennes (méthode de Skolem). Elle a longtemps été l'une des rares méthodes de résolution générales applicables à des classes plus larges d'équations diophantiennes.

Dans le domaine de l' algèbre, il a publié un théorème aujourd'hui connu sous le nom de théorème de Skolem-Noether , selon lequel deux plongements d' une algèbre simple dans une algèbre  centrale simple  ne diffèrent que par leur conjugaison avec un élément inversible : ${\ displaystyle f, g \ deux-points A \ à B}$${\ style d'affichage A}$${\ style d'affichage B}$${\ displaystyle b \ dans B}$

${\ displaystyle f (x) = b ^ {- 1} \ cdot g (x) \ cdot b \ quad {\ mbox {for all}} x \ in A}$.

Ce résultat a été prouvé de manière indépendante par Emmy Noether .

Polices

• Jens Erik Fenstad (éditeur) Thoralf Skolem. uvres choisies en logique , Oslo, University Press 1970
• Recherches sur les axiomes du calcul des classes et sur les problèmes de production et de sommation qui concernent certaines classes de propositions , 1919
• Études logiques-combinatoires sur la satisfiabilité et la prouvabilité de théorèmes mathématiques avec un théorème sur les ensembles denses , 1920
• Quelques remarques sur le fondement axiomatique de la théorie des ensembles , 1922-1923
• Justification de l'arithmétique élémentaire par le mode de pensée récurrent sans application de variables apparentes avec une gamme infinie d'expansion , 1923
• Sur la théorie des systèmes numériques associatifs , 1927
• Sur quelques questions fondamentales en mathématiques , 1929
• Sur la discussion fondamentale en mathématiques , 1929-1930
• À propos de certaines fonctions de phrase en arithmétique , 1930-1931
• De l'impossibilité d'une caractérisation complète de la série des nombres au moyen d'un système fini d'axiomes , 1933
• À propos de la non-caractérisation de la série de nombres au moyen d'un nombre infini fini ou dénombrable d'énoncés avec exclusivement des variables numériques , 1934
• A propos de la satisfiabilité de certaines expressions de comptage , 1935
• A propos de la traçabilité de certaines relations définies par des récursions à « l'arithmétique » , 1936-1937
• Sur la portee de Löwenheim-Skolem , 1938
• Quelques remarques sur les schémas d'induction en théorie récursive des nombres , 1939
• Quelques remarques sur l'arithmétique récursive , 1944
• Commentaires sur l'axiome de compréhension , 1957

liens web

• Littérature de et sur Albert Thoralf Skolem dans le catalogue de la Bibliothèque nationale allemande
• John J. O'Connor, Edmund F. Robertson :  Albert Thoralf Skolem. Dans : Archives d'histoire des mathématiques de MacTutor .
• Nécrologie de Fenstad, pdf

Remarques

1. ↑ Albert Thoralf Skolem dans le projet de généalogie mathématique (anglais)Modèle : MathGenealogyProject / Maintenance / id utilisé
2. d' abord avec l' axiome du choix , plus tard sans son utilisation.
3. ↑ Skolem, Équations diophantiennes, résultats des mathématiques et de leurs zones frontalières, Springer, Berlin 1938. Représenté dans Borevich, Shafarevich, théorie des nombres, Birkhäuser 1966