Équations de réplicateur

Les équations de réplicateur sont des équations différentielles non linéaires qui décrivent la dynamique d'une population dans laquelle les individus qui réussissent se reproduisent plus rapidement que les individus qui réussissent moins bien. Elles font partie des équations de base de la théorie des jeux évolutionnistes et sont utilisées en biologie théorique ainsi qu'en psychologie évolutionniste pour B. pour expliquer les modèles de comportement chez les animaux ou les humains à la suite de la sélection .

Le concept d'équations de réplicateur a été introduit en 1978 pour modéliser la dynamique qui conduit à un état évolutif stable. Ces états d'équilibre des équations du réplicateur sont similaires, mais pas identiques, au concept de stratégie évolutivement stable (ESS) . Le modèle sous-jacent est une population d'un nombre infini d'individus divisés en différents types. La rapidité avec laquelle les individus d'un type se reproduisent dépend de l'aptitude du type. Habituellement, cette forme physique n'est pas constante, mais résulte de l'interaction avec les autres individus. On suppose que chaque individu interagit avec tout autre individu (approximation du champ moyen). Cette approximation peut être justifiée par le fait que l'interaction et la reproduction se déroulent généralement à des échelles de temps différentes, ce qui signifie que chaque individu interagit avec de nombreux autres avant de se reproduire.

Équations

Sous une forme relativement générale, les équations de réplicateur continu sont de la forme

${\ displaystyle {\ dot {x_ {i}}} = x_ {i} [f_ {i} (x) - \ phi (x)], \ quad \ phi (x) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i} f_ {i} (x)}}$

avec la proportion d'une espèce de réplicateur du type dans la population totale, le vecteur de distribution, la fitness du type de réplicateur et la fitness moyenne. ${\ displaystyle x_ {i}}$${\ style d'affichage i}$${\ displaystyle x = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$${\ displaystyle f_ {i} (x)}$${\ style d'affichage i}$${\ style d'affichage \ phi (x)}$

Une hypothèse souvent avancée pour simplifier le modèle est que la fitness dépend linéairement de la composition de la population de réplicateurs :

${\ displaystyle {\ dot {x_ {i}}} = x_ {i} \ left (\ left (Ax \ right) _ {i} -x ^ {T} Ax \ right),}$

La matrice de gains contient les informations de fitness pour la population : le gain à attendre peut être écrit comme et la fitness moyenne de la population totale comme . ${\ style d'affichage A}$${\ displaystyle \ left (Ax \ right) _ {i}}$${\ displaystyle x ^ {T} Ax}$

Généralisations

Une généralisation des équations du réplicateur qui prend en compte les mutations sont les équations du réplicateur-mutateur :

${\ displaystyle {\ dot {x_ {i}}} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} {x_ {j} f_ {j} (x) Q_ {ji}} - \ phi (x) x_ {je},}$

ici, la matrice indique les probabilités de transition liées à la mutation des types de réplicateurs selon . ${\ style d'affichage Q}$${\ style d'affichage j}$${\ style d'affichage i}$

Littérature

• IM Bomze : Équations de Lotka-Volterra et dynamique des réplicateurs : Une classification à deux dimensions. Dans : Biol.Cyrn. Volume 48, 1983, p. 201-211.
• IM Bomze : Équations de Lotka-Volterra et dynamique des réplicateurs : Nouveaux problèmes de classification. Dans : Biol.Cyrn. Volume 72, 1995, pp. 447-453.
• R. Cressman : Dynamique évolutive et jeux de forme étendus The MIT Press, 2003.
• J. Hofbauer, K. Sigmund : Dynamique de jeu évolutive. Dans : Bull. Mathématiques Soc. Volume 40, 2003, p. 479-519.
• I. Hussein : Un modèle de dynamique évolutive basé sur l'individu pour les comportements sociaux en réseau. Dans : Actes de la Conférence américaine de contrôle, St. Louis, MO. À paraître, 2009.
• E. Lieberman , C. Hauert, M. Nowak : Dynamique évolutive sur les graphes. Dans : Nature. Volume 433, n° 7023, 2005, pp. 312-316.
• M. Nowak, K. Page : Unifier la dynamique évolutive. Dans : Journal de biologie théorique. Volume 219, 2002, p. 93-98.
• M. Nowak : Evolutionary Dynamics : Explorer les équations de la vie Belknap Press, 2006.

preuve

1. ↑ P. Taylor, L. Jonker : Stratégies évolutives stables et dynamique de jeu . Dans : Biosciences mathématiques . ruban 40 , non. 1-2 , 1978, p. 145-156 .