Coordonnées de Kruskal-Szekeres

Diagramme de Kruskal. Dans l' animation ci-dessous, chaque hyperbole bleue représente une position à rayon constant. L' horizon des événements correspond aux diagonales tracées. Là la métrique n'est pas singulière . Au contraire, les hyperboles ne disparaissent qu'aux bords de la zone hachurée. La zone ombrée ci-dessus correspond dans les coordonnées de Schwarzschild à toute la singularité d'un trou noir à r = 0.

Diagramme de Kruskal - animation.

Les coordonnées de Kruskal-Szekeres , introduites par Martin Kruskal et George Szekeres , sont les coordonnées de la métrique de Schwarzschild , la métrique qui décrit l'espace extra-atmosphérique d'une distribution de masse à symétrie sphérique, non rotative et électriquement neutre.

Contrairement aux coordonnées de Schwarzschild qui sont souvent utilisées pour cela , les coordonnées de Kruskal-Szekeres à l' horizon des événements ( ) ne sont pas singulières et sont donc souvent utilisées pour décrire les trous noirs (plus précisément : pour la description par les observateurs internes qui se déplacent le long par opposition aux observateurs externes , qui sont "fixés" à une étoile dans la zone extérieure, par exemple.). ${\ style d'affichage r = 2M}$

représentation

Dans les formules suivantes, la valeur de la constante gravitationnelle et de la vitesse de la lumière est utilisée à des fins de simplification ; être la masse du corps central. L' élément de ligne de la métrique de Schwarzschild en coordonnées Kruskal-Szekeres est alors : ${\ style d'affichage G}$ ${\ style d'affichage c}$${\ style d'affichage 1}$${\ style d'affichage M}$

${\ displaystyle ds ^ {2} = (32M ^ {3} / r) \, e ^ {- r / 2M} \, (- dv ^ {2} + du ^ {2}) + r ^ {2} (d \ thêta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ thêta \, d \ phi ^ {2})}$.

${\ style d'affichage r}$est égale à celle des coordonnées de Schwarzschild et est implicitement donnée par : ${\ style d'affichage r}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {r} {2M}} - 1 \ right) \, e ^ {r / 2M} = u ^ {2} -v ^ {2}}$

${\ displaystyle u}$et résultent des coordonnées de Schwarzschild et de : ${\ style d'affichage v}$${\ style d'affichage t}$${\ style d'affichage r}$

${\ displaystyle u = x \, \ cosh (t / 4M)}$et , où pour (c'est-à-dire à l'extérieur),${\ displaystyle v = x \, \ sinh (t / 4M)}$${\ displaystyle x = {\ sqrt {{\ frac {r} {2M}} - 1}} \, e ^ {r / 4M}}$${\ displaystyle r \ geq 2M}$

${\ displaystyle u = x \, \ sinh (t / 4M)}$et , où pour (c'est-à-dire à l'intérieur).${\ displaystyle v = x \, \ cosh (t / 4M)}$${\ displaystyle x = {\ sqrt {1 - {\ frac {r} {2M}}}} \, e ^ {r / 4M}}$${\ style d'affichage r <2M}$

L'extérieur et l'intérieur sont clairement "sans couture" connectés l'un à l'autre sur les diagonales. L'expression correspond au temps propre mesuré avec une montre emportée. ${\ displaystyle -ds ^ {2} / c ^ {2}}$

Historique de la recherche

Les coordonnées Kruskal-Szekeres ont été trouvées par Martin Kruskal au milieu des années 1950, mais seulement connues par John Archibald Wheeler vers 1959 . George Szekeres les a trouvés en 1961. Ils ont également été trouvés indépendamment par Christian Fronsdal en 1959 et par David Finkelstein .

Littérature

• Charles Misner , Kip S. Thorne , John A. Wheeler : Gravitation . WH Freeman, San Francisco 1973, ISBN 0-7167-0344-0

liens web

• Andreas Muller : Trous noirs - Le secret le plus sombre de la gravitation Page 34 (fichier PDF; 64 kB)
• Andreas Müller : Trous noirs - La solution de Schwarzschild

Preuve individuelle

1. ↑ Werner Israel : Dark stars : l'évolution d'une idée . Dans : Stephen Hawking, Werner Israel (Ed.) : 300 ans de gravitation . Cambridge University Press, 1987, ISBN 978-0-521-37976-2 .