Nombre infinitésimal

En mathématiques , un nombre infinitésimal positif est un objet qui, par rapport à l'ordre des nombres réels, est supérieur à zéro , mais plus petit que tout nombre réel positif, aussi petit soit-il.

caractéristiques

De toute évidence, il n'y a pas d'infinitésimales parmi les nombres réels qui répondent à cette exigence, car un tel infini devrait remplir la condition , car il existe également un nombre réel positif. Afin de pouvoir encore définir de tels infinitésimaux , soit l'exigence ci-dessus doit être affaiblie, soit les nombres réels doivent être intégrés dans un champ ordonné plus grand , dans lequel il y a alors de la place pour de tels éléments supplémentaires. Cette dernière est la manière dont les infinitésimaux algébriques sont définis (Coste, Roy, Pollack), ainsi que la voie de l'analyse non standard (NSA) (Robinson, Nelson). ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle 0 <x <{\ tfrac {x} {2}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {x} {2}}}$

Un infinitésimal a la propriété que toute somme de termes infiniment nombreux (dans la NSA: nombre fini standard) du montant de ce nombre est inférieure à 1: ${\ displaystyle x \ neq 0}$

${\ Displaystyle | x | + \ dotsb + | x | <1}$ pour tout nombre fini de sommations.

Dans ce cas, il est supérieur à tout nombre réel positif (dans la NSA: réel standard). Pour les infinitésimales algébriques, cela signifie que l'extension de champ associée n'est pas archimédienne . ${\ displaystyle | 1 / x |}$

calcul

Le premier mathématicien à utiliser de tels nombres était sans doute Archimède , bien qu'il ne croyait pas en leur existence .

Newton et Leibniz utilisent les nombres infinitésimaux pour développer leur calcul du calcul infinitésimal ( calcul différentiel et intégral).

En règle générale, ils ont argumenté (en fait seulement Newton, Leibniz utilise des monades , aujourd'hui à peu près: séries de puissance terminées ou formelles ):

Pour trouver la dérivée de la fonction , nous supposons qu'elle est infinitésimale. Puis ${\ displaystyle f '(x)}$${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} \ ni x \ mapsto x ^ {2} \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathrm {d} x}$

${\ displaystyle f '(x) = {\ frac {f (x + \ mathrm {d} x) -f (x)} {\ mathrm {d} x}} = {\ frac {x ^ {2} + 2x \ cdot \ mathrm {d} x + \ gauche (\ mathrm {d} x \ droite) ^ {2} -x ^ {2}} {\ mathrm {d} x}} = 2x + \ mathrm {d} x = 2x,}$

parce qu'il est infiniment petit. ${\ displaystyle \ mathrm {d} x}$

Bien que cet argument soit intuitif et donne des résultats corrects, il n'est pas mathématiquement exact: le problème de base est qu'il est initialement considéré comme non nul (on divise par ), mais dans la dernière étape, il est considéré comme égal à zéro. L'utilisation des nombres infinitésimaux a été critiquée par George Berkeley dans son ouvrage: L'analyste: ou un discours adressé à un mathématicien infidèle (1734).${\ displaystyle \ mathrm {d} x}$${\ displaystyle \ mathrm {d} x}$

Progrès historique

Depuis lors, la question des infinitésimaux a été étroitement liée à la question de la nature des nombres réels. Ce n'est qu'au XIXe siècle qu'Augustin Louis Cauchy , Karl Weierstrass , Richard Dedekind et d'autres ont donné à l'analyse réelle une forme formelle mathématiquement stricte. Ils ont introduit des considérations de valeur limite qui rendaient superflue l'utilisation de quantités infinitésimales.

Même ainsi, l'utilisation de nombres infinitésimaux était toujours considérée comme utile pour simplifier les représentations et les calculs. Ainsi, si la propriété indique être infinitésimale, et en conséquence la propriété d'être infinie , peut être définie: ${\ displaystyle x \ approx 0}$${\ displaystyle N \ approx \ infty}$

• Un résultat (standard) est une séquence nulle si pour tout applique: .${\ displaystyle (a_ {n})}$${\ displaystyle N \ approx \ infty}$${\ displaystyle a_ {N} \ approx 0}$
• Une fonction (standard) sur un intervalle borné est uniformément continue si et seulement si pour tout , qui applique de ce qui suit: .${\ displaystyle f}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle x, y \ in I}$${\ displaystyle xy \ approx 0}$${\ Displaystyle f (x) -f (y) \ environ 0}$

Au 20e siècle, des extensions de plage de nombres de nombres réels ont été trouvées qui contiennent des nombres infinitésimaux sous une forme formellement correcte. Les plus connus sont les nombres hyper-réels et les nombres surréalistes .

Dans l' analyse non standard d' Abraham Robinson (1960), qui contient les nombres hyperréels comme cas particulier, les nombres infinitésimaux sont des quantités légitimes. Dans cette analyse, la dérivation mentionnée ci-dessus de peut être justifiée par une légère modification: nous parlons de la partie standard du quotient différentiel et de la partie standard de is (si est un nombre standard; plus de détails dans l'article lié). ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} \ ni x \ mapsto x ^ {2} \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle 2x + \ mathrm {d} x}$${\ displaystyle 2x}$${\ displaystyle x}$

se gonfler

1. ↑ Le texte complet peut être trouvé (nouvellement défini) en téléchargement [1]