Ensemble d'index (mathématiques)
En mathématiques , un index (pluriel: indices ) désigne un élément d' un ensemble d'index utilisé pour numéroter une grande variété d'objets. L'ensemble des nombres naturels est souvent utilisé comme ensemble d'index .
Dans les premiers jours des mathématiques de l'ère moderne est également une valeur de fonction était - f (x) en notation moderne - signifie x en indice comme f x désigné. La notation a i pour les termes d'une séquence (en tant que fonction sur les nombres naturels) peut être considérée comme un héritage de cette ancienne notation. En fonction des besoins, des indices en exposant a i peuvent également apparaître malgré le risque de confusion avec le calcul de la puissance .
indice
Un index est un signe distinctif attaché en haut ou en bas, à droite ou à gauche d'un caractère.
En mathématiques, le caractère auquel l'index est attaché représente un objet mathématique et l'index lui-même est de préférence noté en bas à droite de ce caractère. Cependant, toute autre position dans l'index est également envisageable, selon le sujet et la question mathématiques.
Exemples
- La somme de tous les nombres naturels de 1 à est décrite par l'équation . Ici, la variable est un indice de sommation dans lequel les nombres naturels 1, 2, 3, ... sont insérés l'un après l' autre, qui varie dans un ensemble discret de nombres, l'ensemble d'indices.
- La valeur d' un nombre décimal est obtenue en additionnant ses chiffres, qui sont ensuite multipliés par leur valeur de position .
- ,
- Exemple: .
- Dans le cas des familles de fonctions , les paramètres de famille sont généralement notés sous forme d'index, tandis que les arguments "normaux" sont écrits entre parenthèses après le nom de la fonction - par ex. B.
- Dans une matrice , ses composants, c'est-à-dire les valeurs individuelles de la matrice, sont souvent indexés. Par exemple, la représentation des composants d'une matrice est
- Chaque composant a exactement deux indices. Le premier index indique dans quelle ligne et le second dans quelle colonne de la matrice se trouve le composant. Lorsqu'ils ne sont pas les deux indices se composent d'un symbole, de nombreux auteurs ont utilisé une virgule entre eux .
- En physique, en particulier dans les représentations tensorielles de la physique , des indices doubles sont utilisés pour la notation abrégée des sommes. Cette convention est appelée la convention de somme d'Einstein .
- Avec les processus stochastiques et les séries chronologiques , le paramètre de temps est souvent écrit sous forme d'indice.
- Dans la branche mathématique de la géométrie différentielle , les sections d' un faisceau vectoriel sont souvent notées en notation d'index afin de libérer la notation fonctionnelle des opérations algébriques entre fibres de faisceaux différents sur un même point.
- Dans la théorie des fonctions de plusieurs variables, on note l'anneau des séries de puissance convergeant autour de 0 en indéterminé. La raison d'écrire l'index en bas à gauche est que la position en bas à droite est réservée aux sous-ensembles dans lesquels les fonctions d'environnement doivent être holomorphes. Vous écrivez ensuite de manière à avoir un index gauche et un index droit. Il en est ainsi .
- En algèbre homologique , les indices ci-dessous sont utilisés pour les constructions à partir de complexes de chaînes ; les indices ci-dessus sont utilisés pour les constructions correspondantes à partir de complexes de coquette . Par conséquent, les groupes d'homologie sont désignés par et les groupes de cohomologie par .
Montant de l'indice
définition
Un ensemble dont les éléments indexent les éléments d'un autre ensemble est appelé un ensemble d'index.
annotation
Un ensemble d'index n'est donc pas un ensemble spécial, mais plutôt que les éléments de l'ensemble sont utilisés pour indexer d'autres objets. Dans de nombreux cas, l'ensemble des nombres naturels est utilisé pour cela. Cependant, n'importe quel ensemble, qu'il soit avec un nombre d'éléments fini, dénombrable ou indénombrable, peut être utilisé comme un ensemble d'index, puis combine des objets mathématiques dans une famille (voici l'ensemble d'index). Si les nombres naturels sont utilisés comme ensemble d'index, on parle d'une séquence au lieu d'une famille . Le terme séquence est également utilisé pour les familles indexées avec des ordinaux .
Fonction de sélection
En mathématiques, l'index peut être formellement défini à l'aide de la fonction de sélection en tant que mappage de l'ensemble d'index à l'ensemble d'objets indexés.
définition
S'il y a des ensembles , alors on peut utiliser le n-tuple
- Avec
comme image
- ,
saisir. C'est ce qu'on appelle une fonction de sélection.
Axiome de choix
Si l'on ne veut pas se limiter à un nombre fini d'ensembles , mais considérer un nombre infini (en particulier des nombres indénombrables), alors l'existence de la fonction de sélection qui vient d'être définie n'est pas claire. Cela signifie qu'avec des ensembles d'indices infiniment grands, il n'est pas toujours possible de trouver une représentation concrète de la fonction de sélection et ainsi de montrer l'existence de celle-ci. L' axiome du choix garantit qu'une telle fonction de sélection existe . Cependant, l'axiome ne dit rien sur la représentation concrète de la fonction de sélection.
Voir également
liens web
- Eric W. Weisstein : Index . Dans: MathWorld (anglais).
- Eric W. Weisstein : Ensemble d'index . Dans: MathWorld (anglais).
Preuve individuelle
- ↑ index . Dans: FA Brockhaus (éd.): Le nouveau Brockhaus . Tous les livres en cinq volumes et un atlas. 3e édition entièrement révisée. enregistrer 2 . Wiesbaden 1962, p. 608 , col. 2 .
- ↑ Gerd Fischer : Algèbre linéaire. (Une introduction pour les étudiants de première année). 14e édition révisée. Vieweg-Verlag, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03217-0 , p. 38.