Fréquence de réponse

La réponse en fréquence est la relation entre le signal d'entrée et de sortie d'un système linéaire invariant dans le temps (système LZI) avec une excitation sinusoïdale en termes d'amplitude et de phase. C'est donc une fonction complexe de la fréquence .

En raison du comportement linéaire du système, le signal de sortie a la même fréquence que le signal d'entrée. Cependant, les deux signaux diffèrent en amplitude et en phase . Le rapport des amplitudes du signal d'entrée et du signal de sortie en fonction de la fréquence est la réponse en amplitude , parfois également appelée réponse en fréquence d'amplitude . La différence de phase entre le signal d'entrée et le signal de sortie en fonction de la fréquence est la réponse de phase .

La réponse en fréquence peut également être déterminée à partir de la transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle du système.

Général

La réponse en fréquence décrit la relation entre les vibrations sinusoïdales à l'entrée et à la sortie d'un système ( élément de transmission ) en fonction de la fréquence  f ou de la fréquence angulaire  ω .

Le système possède les propriétés suivantes:

• Linéarité
• Invariance temporelle
• Stabilité (l'oscillation de sortie ne retentit pas si l'excitation d'entrée reste la même, par exemple à cause de la résonance)

Réponse en fréquence d'un élément PT1 :
L'amplitude de sortie est plus petite à une fréquence plus élevée.

Diagramme de Bode :
réponse en amplitude et en fréquence de phase d'un filtre passe-bas passif ou d'un élément PT1

Lieu d' un élément passe-bas passif ou PT ₁

Un tel système a un signal d'entrée harmonique

${\ displaystyle x (t) = {\ hat {x}} \ sin (\ omega t + \ phi _ {x}) \;}$

un signal de sortie harmonique:

${\ displaystyle y (t) = {\ hat {y}} (\ omega) \ sin (\ omega t + \ phi _ {y} (\ omega)) \;}$.

En raison de la linéarité, la fréquence angulaire n'est pas influencée. Seules l' amplitude ( → ) et la phase ( → ) sont modifiées. ${\ Displaystyle \ omega \;}$${\ displaystyle {\ hat {x}} \;}$${\ displaystyle {\ hat {y}} \;}$${\ displaystyle \ phi _ {x} \;}$${\ displaystyle \ phi _ {y} \;}$

La réponse amplitude-fréquence est le rapport

${\ displaystyle A (\ omega) = {\ frac {{\ hat {y}} (\ omega)} {\ hat {x}}}}$.

La réponse en fréquence de phase est la différence de phase

${\ displaystyle \ phi (\ omega) = \ phi _ {y} (\ omega) - \ phi _ {x} \;}$.

Représentation graphique

Diagramme de Bode

Le diagramme de Bode (voir illustration) est utilisé pour afficher clairement la réponse en fréquence . La réponse amplitude-fréquence et la réponse phase-fréquence sont présentées dans un graphique chacune. La majorité des axes sont divisés logarithmiquement (à l'exception du déphasage), ce qui facilite l' utilisation du diagramme . Par exemple, la multiplication de deux réponses en fréquence est une simple addition de la distance, et l'inversion d'une réponse en fréquence résulte d'une réflexion sur l' axe f ou ω dans le diagramme.

Lieu

Une représentation graphique alternative de la réponse en fréquence est son lieu . Contrairement au diagramme de Bode, cette image vectorielle contient les deux informations: La longueur du vecteur correspond au rapport d'amplitude, son argument φ est le déphasage.

Ce lieu est également appelé diagramme de Nyquist . Avec l'idée que seules les extrémités des pointeurs gelés sont connectées au locus dans le plan (complexe), la réponse en fréquence peut être clarifiée sans connaissance des mathématiques complexes et des transformations mathématiques du domaine temporel au domaine fréquentiel.

Transformée de Fourier

Les systèmes LZI avec un nombre fini de degrés de liberté internes sont décrits par l' équation différentielle linéaire du nième ordre dans le domaine temporel (le temps en tant que variable):

${\ displaystyle y ^ {(n)} + a_ {n-1} y ^ {(n-1)} + \ ldots + a_ {1} y ^ {(1)} + a_ {0} y = b_ { m} x ^ {(m)} + \ ldots + b_ {1} x ^ {(1)} + b_ {0} x}$.

L'application de la transformation de Fourier à l'équation différentielle conduit à la réponse en fréquence en tant que fonction d'image dans le plan des nombres complexes.

La réponse en fréquence est le quotient de la transformée de Fourier du signal de sortie et du signal d'entrée: ${\ displaystyle H (\ mathrm {j} \ omega)}$${\ displaystyle Y (\ mathrm {j} \ omega)}$${\ displaystyle X (\ mathrm {j} \ omega)}$

${\ displaystyle H (\ mathrm {j} \ omega) = {\ frac {Y (\ mathrm {j} \ omega)} {X (\ mathrm {j} \ omega)}} = {\ frac {b_ {m } (\ mathrm {j} \ omega) ^ {m} + \ ldots + b_ {1} (\ mathrm {j} \ omega) + b_ {0}} {(\ mathrm {j} \ omega) ^ {n } + a_ {n-1} (\ mathrm {j} \ omega) ^ {n-1} + \ ldots + a_ {1} (\ mathrm {j} \ omega) + a_ {0}}}}$.

La transformée inverse de Fourier de la réponse en fréquence est la fonction de pondération ou réponse impulsionnelle:

${\ displaystyle g (t) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} H (\ mathrm {j} \ omega) e ^ {\ mathrm {j } \ omega t} \ mathrm {d} \ omega}$.

Notation de la réponse en fréquence:

• avec partie réelle et imaginaire

${\ displaystyle H (\ mathrm {j} \ omega) = \ operatorname {Re} H (\ mathrm {j} \ omega) + \ mathrm {j} \, \ operatorname {Im} H (\ mathrm {j} \ oméga)}$ .

• avec montant et phase

${\ displaystyle H (\ mathrm {j} \ omega) = \ left | H (\ mathrm {j} \ omega) \ right | e ^ {\ mathrm {j} \ varphi (\ mathrm {j} \ omega)} }$.

${\ displaystyle \ left | H (\ mathrm {j} \ omega) \ right | = {\ sqrt {(\ operatorname {Re} H (\ mathrm {j} \ omega)) ^ {2} + (\ operatorname { Im} H (\ mathrm {j} \ omega)) ^ {2}}}}$     montant

${\ displaystyle \ varphi (\ mathrm {j} \ omega) = \ arctan \ left ({\ frac {\ operatorname {Im} H (\ mathrm {j} \ omega)} {\ operatorname {Re} H (\ mathrm {j} \ omega)}} \ right)}$     phase

Relation avec la fonction de transfert

voir l'article principal: fonction de transfert

Avec dans la fonction de transfert Laplace change dans la réponse en fréquence . ${\ displaystyle \ sigma = 0}$${\ displaystyle s = \ sigma + j \ omega}$${\ displaystyle F (s)}$${\ displaystyle F (\ omega)}$

La réponse en fréquence ne décrit donc aucun processus de transition (processus transitoires dus à des constantes de temps). Il ne convient pas non plus pour décrire des systèmes émergents instables.

La fonction de transfert de Laplace est plus générale dans ces aspects en raison du paramètre supplémentaire . ${\ displaystyle \ sigma}$

Détermination expérimentale de la réponse en fréquence

L'importance de la réponse en fréquence pour les systèmes LZI repose sur la simplicité de son acquisition expérimentale. À cette fin, le système est stimulé avec un générateur de signaux de différentes fréquences et la réponse du système est mesurée.

Dans les systèmes à réponse transitoire rapide après un (petit) changement de fréquence, la mesure peut être effectuée au moyen d'un générateur d'oscillation , comme c'est le cas, par exemple, dans la technologie des communications . Le générateur d'oscillations est un générateur de signaux spécial qui change continuellement sa fréquence de sortie.

Détermination de la réponse en fréquence avec générateur de signaux et mesure synchronisée dans le temps

Cependant, si après chaque excitation de fréquence, il faut attendre un certain temps jusqu'à ce que l'amplitude de la réponse du système ne change plus, alors le processus à l'aide d'un générateur de signaux prend plus de temps.

Dans ce cas, il est plus facile de stimuler le système avec toutes les fréquences d'intérêt en même temps et de déterminer la réponse en fréquence, par exemple, en mesurant la réponse impulsionnelle .

Dans tous les cas, la détermination expérimentale de la réponse en fréquence nécessite une mesure synchronisée dans le temps du signal d'entrée x et du signal de sortie y du système.

Sens du mot dans un sens plus large

Dans un sens plus général, «réponse en fréquence» peut également désigner une autre propriété dépendant de la fréquence d'un système physique, telle que la consommation d'énergie, la température ou la puissance rayonnée en fonction de la fréquence. Plus courant que z. B. "Réponse en fréquence d'un service" est cependant l'expression "dépendance en fréquence d'un service". Selon une source, «réponse en fréquence» dans le langage des ingénieurs de contrôle se réfère également au spectre de fréquences connu des signaux d'excitation spéciaux non périodiques.

Littérature

• Heinz Unbehauen: Ingénierie de contrôle I. Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, 1997, ISBN 3-528-83332-7 .
• Jan Lunze: Ingénierie de contrôle 1 . 6e édition. Springer Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-70790-5 . 
• Wilfried Weißgerber: Génie électrique pour les ingénieurs 2. Vieweg, 2007, ISBN 978-3-8348-0191-3 .
• Günther Schmidt : Principes de base de l'ingénierie de commande . Springer Verlag, 1987, ISBN 3-540-17112-6 .

liens web

• Connaissez-vous la réponse en fréquence de votre audition? (PDF; 112 Ko)

Preuve individuelle

1. ↑ Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger: Introduction à la théorie des systèmes . 4e édition. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0176-0 . 
2. ↑ Winfried Oppelt: Petit manuel des processus de contrôle technique. Verlag Chemie, 1972, ISBN 3-527-25347-5 , p. 60.
3. ↑ Günther Schmidt : Fondamentaux de l'ingénierie de contrôle . Springer Verlag, 1987, ISBN 3-540-17112-6
4. ↑ L'Encyclopédie Brockhaus en ligne. Bibliographisches Institut & FA Brockhaus; consulté le 22 juin 2010. Le texte d'introduction définit le terme réponse en fréquence comme suit: «Physique, technologie: généralement l'évolution d'une grandeur physique en fonction de la fréquence (la fréquence angulaire ω), également le nom de cette fonction elle-même ; Au sens plus étroit, terme désignant une fonction complexe qui caractérise le comportement temporel des éléments de transmission linéaire invariants dans le temps dans les technologies de communication ou de contrôle "
5. ↑ Kurt Magnus, Karl Popp: Vibrations - Une introduction aux principes physiques et au traitement théorique des problèmes de vibration. Teubner, ISBN 3-519-52301-9 , p. 30 ( aperçu limité dans la recherche de livres Google).
6. ↑ Kurt Reinschke : Régulation linéaire et théorie du contrôle . Springer-Verlag, p. 44 ( aperçu limité dans la recherche de livres Google)