Forme étendue d'un jeu

Arbre de jeu avec deux ensembles d'informations à un seul élément

La forme extensive d'un jeu , forme peu étendue est, en théorie des jeux une forme de représentation des jeux , contrairement à la forme normale du jeu en tenant compte du timing des décisions et à cette fin un arbre de jeu appelé arborescence utilisé.

définition

La forme extensive d'un jeu est une description mathématiquement formelle d'un jeu, avec laquelle le déroulement possible du jeu selon les règles du jeu peut être pleinement caractérisé. Plus précisément, il concerne les informations suivantes:

  • Le nombre de joueurs.
  • Pour chaque score ( appelé position ) les informations sur
    • à qui c'est
    • quels coups sont disponibles pour le joueur concerné et
    • Sur la base de quelles informations (par exemple la connaissance de ses propres cartes et de celles qui ont déjà été jouées) il doit prendre sa décision.
  • Pour les positions finales, qui a gagné combien (le profit d'un joueur est appelé le paiement ).
  • Dans le cas de mouvements aléatoires, quelle est la probabilité des résultats possibles et comment ils peuvent être corrélés les uns aux autres .

La formalisation de la forme extensive est basée sur un graphe mathématique , où les nœuds correspondent aux positions et les arêtes aux possibilités de mouvement. Plus précisément, cela inclut la formalisation

  • un arbre (c'est un graphe connecté sans boucles),
  • un nœud qui représente la racine de l'arbre et symbolise la position de départ du jeu ( faisant de l'arbre un graphe orienté ),
  • un ensemble de joueurs (y compris, le cas échéant, un joueur fictif qui "décide" des coups aléatoires),
  • une affectation qui assigne un joueur à chaque nœud (qui se déplace dans cette position , c'est-à-dire sélectionne un coup autorisé),
  • pour chaque joueur une partition des nœuds dans lesquels il tire, en ensembles d'informations,
  • une affectation qui attribue un paiement pour chaque joueur à chaque nœud final.

Les ensembles d' informations contiennent chacun les nœuds (également appelés nœuds de décision ) qui sont indiscernables pour le joueur dessinant en raison des informations actuellement disponibles pour lui - par exemple, parce que la branche précédente dans l'arborescence du jeu sur une décision d'un autre joueur qui n'est pas reconnaissable pour le joueur dessinateur est basé. Tous les nœuds d'un ensemble d'informations doivent donc contenir le même nombre de coups possibles. Dans le formulaire détaillé, les options de déplacement de tous les nœuds d'un ensemble d'informations doivent être identifiées de manière cohérente (par exemple par numérotation). Dans une représentation graphique de l'arborescence du jeu, les nœuds des ensembles d'informations individuels sont généralement résumés comme indiqué ci-dessus. Du fait de cette représentation, on parle aussi de zones d'information .

Un jeu dont tous les ensembles d'informations ne contiennent qu'un seul élément à la fois est appelé un jeu avec une information parfaite . Certains auteurs parlent également d' informations parfaites . Comme d' habitude avec la plupart des jeux de société , un joueur qui bouge connaît alors toujours toute l'histoire du jeu en cours. Les contre-exemples sont des jeux de cartes dans lesquels les joueurs ne connaissent que leurs propres cartes. Ces jeux sont des exemples de jeux avec des informations imparfaites (ou imparfaites ).

Même un jeu avec des informations imparfaites peut avoir des informations complètes , ce qui signifie que les joueurs sont sûrs des règles du jeu.

Propriétés des jeux et leur présentation

La différence entre la représentation sous forme extensive et celle sous forme normale réside dans le fait que sous la forme extensive, un jeu est modélisé comme une séquence de décisions par les joueurs, tandis que dans la forme normale, toutes les décisions sont considérées comme ayant lieu simultanément.

Les structures séquentielles des jeux nécessitent des concepts de solution qui vont au-delà de l' équilibre de Nash . En particulier, les équilibres de Nash peuvent contenir des menaces invraisemblables compte tenu de la structure séquentielle du jeu. Une façon d'exclure de tels équilibres est d'utiliser le concept d' équilibres parfaits de sous-jeu .

Preuve individuelle

  1. ↑ Jörg Bewersdorff : Luck, Logic and Bluff: Mathematics in Play - Methods, Results and Limits , Vieweg + Teubner Verlag, 5e édition 2010, ISBN 3834807753 , doi: 10.1007 / 978-3-8348-9696-4 , p. IX .
  2. ^ Christian Rieck : Spieltheorie , Gabler, Wiesbaden 1993, ISBN 340916801X , pp. 84–97.

Littérature

  • Alós-Ferrer, Carlos / Ritzberger, Klaus (2005): Trees and Decisions , in: Economic Theory 25 (4): 763–798.
  • Fudenberg, Drew / Tirole, Jean (1991): Théorie des jeux . Cambridge (Mass.): MIT Press.
  • Gibbons, Robert (1999): Une introduction à la théorie des jeux . Harlow: Pearson Education.
  • Eichberger, Jürgen (1993): Théorie des jeux pour les économistes . New York: Presse académique.