Paradoxe de Condorcet

Le paradoxe de Condorcet ou problème des majorités cycliques (également paradoxe électoral, cercle de préférence ou principe pierre-papier-ciseaux ) est un paradoxe dans les procédures électorales nommé d' après Marie Jean Antoine Nicolas Caritat, marquis de Condorcet , qui est particulièrement évident dans le vote par paires et élections ( méthode Condorcet ). Le soi-disant paradoxe est le suivant : Le résultat du vote ou la préférence/décision collective est cyclique, i. H. pas transitif , bien que les préférences individuelles soient transitives. Cela peut être interprété de telle manière qu'avec un ordre du jour, chaque décision majoritaire est remplacé par un autre. De là, on peut conclure qu'il n'y a pas de vainqueur Condorcet .

Énoncé de base : il est possible qu'une majorité préfère l'option A à l'option B, en même temps qu'une majorité préfère l'option B à l'option C et pourtant une majorité préfère l'option C à l'option A.

Ceci est possible car chaque électeur a sa propre séquence de préférences. Si toutefois les options se divisent en deux camps opposés, dont les options ne sont que plus ou moins fortes dans ce sens, ce phénomène ne se produit pas.

Explication

Représentation graphique d'un raisonnement circulaire (violation de l' hypothèse de transitivité ) dans un espace de préférence à 2 dimensions : Les votants sont représentés par les points bleus, les options par les points rouges et l'ordre de préférence par les flèches. La préférence collective cyclique présentée représente une violation de l'hypothèse de transitivité.

Nous supposons qu'il existe trois agents rationnels : x, y et z. x préfère l'option A, le second préfère l'option B et aime moins l'option C. y préfère l'option B, puis l'option C et enfin A. La personne z a finalement la liste de souhaits C, A, B.

Sous forme de tableau :

	X	oui	z
Souhait initial	UNE.	B.	C.
Deuxième souhait	B.	C.	UNE.
Troisième demande	C.	UNE.	B.

En notation formelle, les préférences :

Pour l'agent 1 : . ${\ displaystyle \; \ mathrm {A} \; \ succ \; \ mathrm {B} \; \ succ \; \ mathrm {C}}$
Pour l'agent 2 : . ${\ displaystyle \; \ mathrm {B} \; \ succ \; \ mathrm {C} \; \ succ \; \ mathrm {A}}$
Pour l' agent 3 . ${\ displaystyle \; \ mathrm {C} \; \ succ \; \ mathrm {A} \; \ succ \; \ mathrm {B}}$

Deux sur trois ( et ) préfèrent l' option à l' option . Deux sur trois ( et ) préfèrent également l' option à l' option . Mais il y a aussi deux ( et ) qui préfèrent l'option à l'option (raisonnement circulaire). Pour établir un classement commun selon la méthode Condorcet , il faudrait ordonner à la fois devant et devant et devant , car dans une comparaison directe la majorité a devant , devant et devant . . Cependant, un tel classement n'est pas possible. ${\ style d'affichage x}$ ${\ style d'affichage z}$ ${\ displaystyle \ mathrm {A}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {B}}$ ${\ style d'affichage x}$ ${\ style d'affichage y}$ ${\ displaystyle \ mathrm {B}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {C}}$ ${\ style d'affichage y}$ ${\ style d'affichage z}$ ${\ displaystyle \ mathrm {C}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {A}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {A}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {B}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {B}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {C}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {C}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {A}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {A}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {B}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {B}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {C}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {C}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {A}}$

Bien entendu, cela s'applique également si x, y et z représentent non seulement une personne chacun, mais (approximativement) des groupes de même taille. Plus précisément, chaque groupe doit juste être plus petit que les deux autres combinés.

Le résultat dépend donc du votant et de son choix de l'enchaînement des votes : la situation ci-dessus est donnée et elle est connue du votant. Ensuite, s'il préfère lui-même l'alternative A, il peut d'abord voter entre B et C : Ici, B gagne, il déclare C éliminé et laisse voter A et B, où A gagne maintenant. Il semble maintenant qu'une majorité écrasante soit derrière A, après tout, elle a clairement triomphé de B et B clairement de C. Un vote entre A et C, qui aurait montré que la préférence n'est pas du tout claire, n'a pas eu lieu.

sens

La théorie du choix social examine le paradoxe du vote et d'autres problèmes d'agrégation avec le vote et les élections. Le paradoxe du vote est un exemple simple de plusieurs listes de préférences transitives individuelles sans préférence arbitraire que les listes de préférences collectives transitives ne peuvent pas toujours créer. En particulier, il s'agit d'un cas particulier du théorème d'impossibilité d'Arrow , qui prouve l'impossibilité fondamentale d'une liste de préférences collective « démocratique » omniprésente. Ceci soulève quelques questions dans la théorie démocratique ; en particulier, selon certains, cela montre que la démocratisation des décisions économiques ou politiques ne conduit pas toujours à des résultats optimaux. Mais à quelle fréquence apparaissent les préférences circulaires ?

Remplaçons les variables abstraites du tableau par des options concrètes dans une décision factuelle : Un comité de 3 membres ( X aver, Y oshi, Z elda) conseille sur la limitation de vitesse dans une rue.

A = niedrigere Geschwindigkeit
B = die gegenwärtige Geschwindigkeit
C = höhere Geschwindigkeit

Lisons le tableau : Xaver est le plus susceptible de vouloir la vitesse la plus faible et encore moins la plus élevée. Yoshi est le plus susceptible de vouloir le compromis actuel. Zelda est plus susceptible d'aimer la vitesse la plus élevée, d'autre part elle aime la vitesse la plus basse. Les préférences du membre du panel Zelda sont étranges. Il peut toujours arriver que les préférences ne soient pas transitives. On pourrait maintenant penser que les majorités circulaires n'apparaissent pratiquement pas dans les décisions unidimensionnelles. Mais c'est faux. Zelda pouvait penser qu'elle se rendait compte qu'il est plus facile de freiner à basse vitesse, et qu'à haute vitesse, une hormone serait libérée qui augmenterait la vigilance. Il peut également y avoir un groupe de feux de circulation sur la route, et les phases vertes ne peuvent être utilisées qu'à des vitesses plus élevées ou plus basses. Juste à vitesse normale, il n'y a aucun avantage. Il s'ensuit que les préférences cycliques sont tout à fait possibles.

Découverte

Condorcet fut probablement le premier à décrire ce paradoxe dans son Essai sur l'application de l'analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix (Paris 1785). Il a été pratiquement oublié jusqu'à ce que Charles Lutwidge Dodgson et Edward John Nanson le redécouvrent indépendamment dans les années 1870. Il a ensuite été à nouveau oublié jusqu'à ce que Duncan Black et Kenneth Arrow le redécouvrent indépendamment dans leurs recherches dans les années 1940.

Littérature

Jean-Antoine-Nicolas de Caritat Condorcet, marquis de : Essai sur l'application de l'analyse à la probabilité des décisions rendues à la majorité des voix . Imprimerie royale, Paris 1785 ( texte intégral dans la recherche de livres Google).
William V. Gehrlein : Le paradoxe de Condorcet. Série : Theory and Decision Library C, Tome 40. Springer, Berlin / Heidelberg 2006, ISBN 978-3-540-33798-0 , doi: 10.1007 / 3-540-33799-7 .

Preuve individuelle

^ Berthold U. Wigger : Fondements des finances publiques. 21.
↑ Jörg Rothe et al. : Introduction au choix social computationnel. P. 6. dans la recherche de livres Google.

[1] Berthold U. Wigger : Fondements des finances publiques. 21.

[2] Jörg Rothe et al. : Introduction au choix social computationnel. P. 6. dans la recherche de livres Google.

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